방사성 붕괴 사슬(베이트만) 계산기
A → B → C 2단 붕괴에서 중간 핵종의 양을 베이트만 식으로 구합니다. 반감기가 같아 0/0이 되는 자리를 극한식으로 처리하고, 영속평형·과도평형·비평형 세 거동을 곡선으로 보여 줍니다.
120시간 뒤 중간 핵종 B
28.358
A는 283.578, C는 688.064으로 추정됩니다. 이 사슬은 과도평형 거동을 보입니다.
시간에 따른 양
진한 선이 어미 A, 파란 선이 중간 핵종 B, 점선이 최종 핵종 C입니다. B는 위에서 만들어지면서 동시에 아래로 빠져나가기 때문에 올라갔다가 내려오는 모양이 됩니다.
계산 방법
- 1A와 B의 반감기를 같은 단위로 넣습니다. 시간·일·년 무엇이든 서로 같기만 하면 됩니다.
- 2처음 A의 양과, 필요하면 처음 B의 양도 넣습니다.
- 3관찰 시간을 정하면 곡선과 그 시각의 값이 나옵니다.
- 4B가 최대가 되는 시각과 방사능 비를 확인해 어떤 평형인지 봅니다.
자주 묻는 질문
붕괴 사슬에서 각 핵종의 양을 시간의 함수로 주는 해입니다. 2단 사슬에서 중간 핵종은 N_B(t) = N_A0·λ_A/(λ_B−λ_A)·(e^(−λ_A·t) − e^(−λ_B·t))입니다. 중간 핵종이 위에서 만들어지면서 동시에 아래로 빠져나가기 때문에 올라갔다 내려오는 모양이 됩니다.
베이트만 식의 분모 (λ_B − λ_A)가 0이 되어 0/0 꼴이 됩니다. 실제로는 극한이 얌전히 존재해 N_A0·λ·t·e^(−λt)가 되며, 이 계산기는 두 값이 가까우면 극한식으로 갈아탑니다. 이 처리를 하지 않은 구현은 반감기를 같게 넣으면 NaN을 뱉습니다.
어미와 딸의 반감기 차이가 얼마나 큰지가 다릅니다. 어미가 훨씬 길면(영속평형) 어미가 거의 줄지 않아 딸의 방사능이 어미와 같아지고, 어미가 딸보다 길지만 비슷한 규모면(과도평형) 딸의 방사능이 어미보다 커진 뒤 비가 λ_B/(λ_B−λ_A)로 일정해집니다.
만들어지는 속도와 빠져나가는 속도가 같아지는 순간입니다. 그 시각은 ln(λ_B/λ_A)/(λ_B − λ_A)이고, 두 반감기가 같으면 1/λ입니다. 이 계산기는 그 시각과 그때의 양을 함께 보여 줍니다.
그렇습니다. 몰리브데넘-99(반감기 66시간)가 테크네튬-99m(6시간)으로 붕괴하는 과도평형을 이용합니다. 반감기가 짧아 오래 보관할 수 없는 Tc-99m을 병원에서 필요할 때마다 뽑아 쓸 수 있게 해 주는 것이 이 사슬입니다.
반감기와 관찰 시간의 단위가 서로 같기만 하면 무엇이든 됩니다. 시간으로 넣으면 붕괴상수도 시간당 값으로 나옵니다. 양은 개수든 몰이든 베크렐이 아닌 「핵의 수」에 비례하는 값으로 보시면 됩니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 검증은 미분방정식을 직접 적분한 결과와 대조해 했습니다. dN_A/dt = −λ_A·N_A, dN_B/dt = λ_A·N_A − λ_B·N_B를 4차 룽게–쿠타로 풀어 베이트만 해와 여섯 가지 조건에서 소수점 여섯 자리까지 일치하는 것을 확인했습니다.
- 반감기가 같은 경우를 따로 고정했습니다. 극한식이 수치 적분과 맞는지, 반감기를 0.01%만 다르게 해도 값이 튀지 않고 이어지는지 확인했습니다. 이 자리가 구현이 가장 잘 터지는 곳입니다.
- B가 최대가 되는 시각이 실제로 최대인지 좌우 값을 견줘 확인했고, 반감기가 같을 때 1/λ가 되는 것도 고정했습니다.
- 세 거동을 실제 핵종 값으로 검사했습니다. 라듐-226 → 라돈-222(영속평형), 몰리브데넘-99 → 테크네튬-99m(과도평형, 방사능 비가 λ_B/(λ_B−λ_A)에 수렴), 어미가 더 짧은 경우(비평형)입니다.
- A + B + C가 처음 양과 같은지 매번 검산해 화면에 함께 보입니다.
- 2단 사슬만 다루고 마지막 핵종은 안정하다고 봅니다. 우라늄 계열처럼 여러 단으로 이어지는 사슬이나, 하나의 핵종이 여러 방식으로 붕괴하는 갈래 붕괴는 다루지 않습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 2일 · 결과는 참고용 추정치입니다.