타원곡선 점 연산 계산기

두 점을 잇는 직선이 곡선과 만나는 세 번째 점을 x축에 대칭시킨 점입니다. 실수 위에서는 말 그대로 그림이고, 유한체에서는 그림을 그릴 수 없지만 같은 식이 그대로 성립합니다. P = Q일 때는 직선 대신 접선을 쓰기 때문에 두 배 공식이 따로 있습니다.

군의 항등원입니다. 두 점의 x가 같고 y가 서로 부호 반대이면 두 점을 잇는 직선이 수직이라 세 번째 교점이 없는데, 그때 나오는 것이 무한원점입니다. 좌표가 없는 점이라 코드에서는 보통 null로 다루고, 이 자리를 특별 취급하지 않은 구현이 가장 잘 틀립니다.

유한체 위 타원곡선의 점 개수 #E가 |#E − (p+1)| ≤ 2√p 안에 든다는 정리입니다. 점 개수는 대략 p 근처이고 그 흔들림이 √p 규모라는 뜻입니다. 이 계산기는 작은 곡선에서 점을 실제로 전부 나열해 세고 그 값이 범위 안에 드는지 함께 보여 줍니다.

4a³ + 27b² ≡ 0이면 곡선에 첨점이나 자기교차가 생겨 그 점에서 접선이 하나로 정해지지 않기 때문입니다. 덧셈 자체가 성립하지 않으므로 이 계산기는 그런 곡선을 거절합니다.

kP를 k번 더하는 대신 k의 비트 수만큼만 계산하기 위해서입니다. k를 2진수로 읽으며 매 비트에서 두 배 하고, 비트가 1이면 P를 한 번 더합니다. k가 256비트여도 약 256번의 두 배와 그만큼의 덧셈이면 끝납니다.

비트코인과 이더리움의 서명에 쓰이는 곡선으로, y² = x³ + 7 (mod 2²⁵⁶ − 2³² − 977)입니다. 개인키가 스칼라 k이고 공개키가 kG입니다. k에서 kG는 금방 구하지만 kG에서 k를 되찾는 것은 알려진 방법으로도 약 2¹²⁸걸음이 들어, 이 비대칭이 서명의 안전성을 떠받칩니다.

쓰지 마세요. 학습용입니다. 여기 구현은 상수 시간이 아니라 계산에 걸리는 시간으로 비밀값이 새는 부채널 공격에 그대로 노출되고, 난수 생성이나 키 관리도 전혀 다루지 않습니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.