버킹엄 π 무차원군 계산기
변수와 각 변수의 차원을 넣으면 무차원군이 몇 개인지와 실제 π 군을 구합니다. 차원행렬의 계수를 분수 연산으로 정확히 세고, 나온 군을 다시 곱해 차원이 남지 않는지 확인해 보여 줍니다.
한 줄에 하나씩 「이름: 차원」으로 적습니다. M(질량) L(길이) T(시간) Θ 또는 K(온도) I(전류) N(물질량) J(광도)를 쓰고, 지수는 L-3처럼 붙입니다. 무차원 변수는 1이라고 적습니다. 변수 12개까지.
변수 5개 · 차원행렬의 계수 3
무차원군 2개
5 − 3 = 2개입니다. 이 현상은 변수 5개의 관계가 아니라 무차원군 2개의 관계로 다시 쓸 수 있습니다.
변수마다의 차원
| 변수 | 차원 | 쓰임 |
|---|---|---|
| F | M L T⁻² | π군을 이끔 |
| ρ | M L⁻³ | π군을 이끔 |
| v | L T⁻¹ | 반복변수 |
| D | L | 반복변수 |
| μ | M L⁻¹ T⁻¹ | 반복변수 |
무차원군
이 현상은 π₁ = f(π₂) 꼴로 쓸 수 있습니다. 함수 f가 무엇인지는 차원해석이 알려 주지 않습니다— 그것은 실험이나 이론으로 정해야 합니다. 차원해석이 해 주는 일은 «몇 개의 무엇으로 줄일 수 있는가»까지입니다.
계산 방법
- 1변수를 한 줄에 하나씩 「이름: 차원」 꼴로 적습니다.
- 2차원은 M(질량) L(길이) T(시간) Θ 또는 K(온도)로 적고 지수를 붙입니다 — 밀도는 M L-3입니다.
- 3알고 싶은 값을 맨 위에 적습니다. 그것이 π₁을 이끕니다.
- 4무차원군의 개수(변수 수 − 차원행렬의 계수)를 확인합니다.
- 5나온 π 군이 정말 무차원인지 「다시 곱하면 남는 차원」에서 확인합니다.
자주 묻는 질문
변수 n개가 들어가는 현상은 무차원군 n − k개의 관계로 다시 쓸 수 있다는 정리입니다. 여기서 k는 차원행렬의 계수이며, 변수 다섯 개짜리 문제가 무차원군 두 개짜리 문제로 줄어들면 실험 횟수가 극적으로 줄어듭니다.
아닙니다. 차원행렬의 계수입니다. 열전달의 h·k·D는 M·L·T·Θ 넷을 쓰지만 계수가 2라 무차원군이 하나(누셀 수) 나옵니다. 기본차원의 개수로 빼면 −1개라는 답이 나오는데, 이것이 손으로 풀 때 가장 흔한 실수입니다.
π 군은 유일하지 않으므로 정상입니다. 어떤 변수를 반복변수로 잡느냐에 따라 모양이 달라지고, 군끼리 곱하거나 거듭제곱해도 여전히 무차원입니다. 레이놀즈 수 Re와 1/Re는 둘 다 옳은 π 군이며, 유일한 것은 «개수»뿐입니다.
차원행렬에서 서로 독립인 변수를 계수만큼 고릅니다. 이 도구는 뒤에 적은 변수부터 잡으므로, 알고 싶은 값을 맨 위에 적으면 그 값이 π₁을 이끄는 형태가 됩니다. 관 속 흐름에서 F·ρ·v·D·μ 순으로 적으면 반복변수가 v·D·μ가 되고 ρ가 이끄는 군이 레이놀즈 수로 나옵니다.
식의 «형태»까지는 나오지 않습니다. π₁ = f(π₂, …)라는 것까지만 알 수 있고 함수 f가 무엇인지는 실험이나 이론으로 정해야 합니다. 차원해석이 해 주는 일은 몇 개의 무엇으로 줄일 수 있는가까지입니다.
부동소수점으로 소거하면 0이어야 할 값에 0.0000000000000004 같은 찌꺼기가 남아 계수를 잘못 세기 때문입니다. 지수는 본디 유리수이므로 이 도구는 분수 연산으로만 소거하고, 나온 지수벡터를 분모의 최소공배수와 최대공약수로 정리해 가장 간단한 정수로 만듭니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 정답지는 다시 곱해 보는 것입니다. 나온 지수벡터로 변수들을 실제로 곱해 기본차원이 하나도 남지 않는지 확인하며, 이것이 무차원군의 정의 그 자체입니다. 예제 넷과 무작위 차원행렬 400개에서 나온 모든 군에 대해 검사했습니다.
- 차원행렬의 계수는 분수 연산으로 구하고, 부동소수점 소거로 센 계수와 같은지 무작위 행렬 400개에서 대조했습니다. 원리가 같은 소거라도 반올림이 개입하는지 아닌지가 갈리는 지점이라 서로를 검산합니다.
- 손으로 아는 답과도 맞춥니다 — 진자는 T²g/L 하나(그리고 추의 질량은 지수가 0이라 답에 들어가지 않습니다), 열전달은 hD/k(누셀 수), 파도는 v²/(gλ), 관 속 흐름에서는 ρvD/μ(레이놀즈 수)가 나옵니다.
- 나온 군끼리 서로 독립인지(지수벡터를 행으로 세운 행렬의 계수가 군의 개수와 같은지)도 검사합니다.
- π 군은 유일하지 않습니다. 이 도구가 내놓는 것은 여러 옳은 답 가운데 하나이며, 교과서와 모양이 다르더라도 서로 곱·거듭제곱으로 옮겨 갈 수 있습니다.
- 변수는 12개까지, 기본차원은 M·L·T·Θ·I·N·J 일곱 가지를 다룹니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.