삼차·사차방정식 계산기

있습니다. 1545년 카르다노가 펴낸 공식으로, 이차항을 없앤 t³ + pt + q 꼴로 만든 뒤 세제곱근으로 근을 적습니다. 사차는 그의 제자 페라리가 풀었습니다. 다만 오차 이상은 사칙연산과 거듭제곱근만으로 적을 수 있는 공식이 존재하지 않는다는 것이 증명되어 있습니다(아벨–루피니 정리).

세 근이 모두 실수인데 카르다노 공식으로는 음수의 제곱근을 거쳐야만 하는 경우입니다. 판별식 Δ = −4p³ − 27q²가 양수일 때 생기며, 답이 전부 실수인데도 계산 과정에 허수가 반드시 끼어듭니다. 실수 세제곱근만으로는 풀 수 없다는 것이 증명되어 있어, 이 계산기는 삼각함수 항등식을 쓴 해 x = 2√(−p/3)·cos(⅓arccos(…) − 2πk/3)로 구합니다.

근의 모양을 알려 줍니다. 삼차에서 Δ > 0이면 서로 다른 실근 셋, Δ = 0이면 중근이 있고, Δ < 0이면 실근 하나와 켤레복소근 둘입니다. 실계수 삼차는 실근이 적어도 하나는 반드시 있습니다.

x = t − b/3a로 변수를 옮겨 이차항을 없앤 식입니다. 삼차는 t³ + pt + q, 사차는 y⁴ + py² + qy + r이 됩니다. 항이 줄어 공식이 훨씬 간단해지고, 마지막에 옮긴 만큼 되돌리면 원래 근이 나옵니다.

이차식 두 개의 곱으로 쪼갭니다. y⁴ + py² + qy + r = (y² + αy + β)(y² − αy + γ)로 놓고 계수를 맞추면 m = α²가 분해 삼차식 m³ + 2pm² + (p²−4r)m − q²의 양의 실근이어야 한다는 조건이 나옵니다. 삼차를 한 번 풀면 사차가 이차 둘로 무너지는 구조입니다.

구한 근이 정말 근인지 스스로 검산한 값이기 때문입니다. 근을 원래 식에 되넣으면 0이 나와야 하는데, 부동소수점 계산이라 정확히 0은 아니고 아주 작은 값이 됩니다. 이 값이 크면 그 근은 믿을 수 없다는 신호입니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.