방정식 수치해 계산기 (이분법·뉴턴법·할선법)

근의 위치를 모르면 이분법으로 좁힌 뒤 그 값을 뉴턴법의 초기값으로 넘기는 것이 실무의 방식입니다. 이분법은 구간 안에 부호 변화만 있으면 반드시 수렴하지만 자릿수 하나를 얻는 데 3.3회가 들 만큼 느리고, 뉴턴법은 단근 근처에서 자릿수가 매 회 배로 늘지만 초기값이 나쁘면 발산하거나 순환합니다. 확실한 쪽으로 자리를 잡고 빠른 쪽으로 마무리하는 셈입니다.

f′(x)가 0에 가까워 접선이 눕는 곳에 올라섰을 때입니다. 접선이 x축과 만나는 점이 근에서 한참 떨어진 곳으로 잡히기 때문입니다. f(x)=∛x에 뉴턴법을 쓰면 x가 매번 −2배가 되어 부호를 바꾸며 커지고, f(x)=x³−2x+2를 초기값 0에서 시작하면 0과 1을 끝없이 오갑니다. 이 계산기의 예제에 둘 다 들어 있습니다.

구간의 양 끝에서 f(x)의 부호가 같기 때문입니다. 근이 아예 없거나, 근이 짝수 개 들어 있거나, x축에 닿기만 하고 지나가지 않는 중근인 경우입니다. 이 계산기는 그럴 때 구간 안을 200등분해 부호가 바뀌는 곳을 찾아 알려 주므로 그 구간을 다시 넣으면 됩니다. 중근이라면 이분법으로는 잡히지 않으니 뉴턴법을 쓰세요.

중근에서는 f와 f′가 함께 0이 되어 2차 수렴의 전제가 깨지기 때문입니다. f(x)=(x−1)²에 뉴턴법을 쓰면 오차가 매번 정확히 절반으로 줄어들 뿐이라 이분법과 같은 속도가 됩니다. 자릿수가 배로 늘어나는 2차 수렴은 근이 겹치지 않은 단근일 때의 이야기입니다.

이 계산기는 도함수를 중앙차분 (f(x+h) − f(x−h)) / 2h로 직접 구합니다. h는 |x|에 비례해 잡아 x가 클 때도 자리가 남게 했습니다. 다만 근삿값이므로 해석적 도함수를 넣은 것과 완전히 같지는 않으며, f′가 0에 가까운 곳에서 특히 어긋납니다. 도함수를 아예 쓰지 않으려면 할선법을 보세요.

|f(x)|가 작다고 x가 근에 가까운 것은 아니기 때문입니다. f(x)=(x−1)²에서는 x가 1.00001만 되어도 |f|가 1e−10이라, |f|로 판정하면 자릿수 다섯에서 「수렴했다」고 말하게 됩니다. 그래서 뉴턴법·할선법은 한 걸음의 크기로, 이분법은 남은 구간의 반폭으로 판정하고 |f(근)|는 참고로 따로 보입니다.

전송되지 않습니다. 식을 읽는 것도 근을 찾는 것도 모두 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.