완전순열(교란순열) 계산기

사람 수와 거의 무관하게 약 36.8%(1/e)입니다. 4명이면 37.5%, 10명이면 36.7879%, 100명이면 역시 36.79%로 사실상 같습니다. 확률의 식이 e의 −1제곱을 펼친 급수와 같아 n이 조금만 커져도 그 값에 붙기 때문입니다. 「사람이 많으면 누군가는 자기 걸 뽑겠지」라는 직관과 어긋나는 지점입니다.

D(0)=1, D(1)=0이고 D(n) = (n−1)·(D(n−1) + D(n−2))입니다. 1번 사람이 k번 제비를 뽑았다고 하면 k를 고르는 방법이 n−1가지이고, 그다음 k번 사람이 1번 제비를 뽑으면 둘이 짝지어 빠져 n−2명 문제가, 안 뽑으면 n−1명 문제와 같은 모양이 됩니다. n ≥ 1에서는 n!을 e로 나눠 반올림한 값과도 정확히 같습니다.

맞습니다. 완전순열은 「자기 자신을 뽑은 사람이 한 명도 없다」는 조건만 봅니다. 두 명이 서로의 것을 뽑는 배치도 조건을 만족하므로 셉니다. 서로 바꾸는 짝을 금지하려면 조건이 하나 더 붙는 다른 문제가 됩니다.

k명일 확률은 C(n,k)·D(n−k)/n!입니다. k명을 고르고 나머지가 완전순열이면 되기 때문입니다. 0명일 확률과 1명일 확률이 거의 같은데, 맞춘 사람 수가 평균 1인 푸아송 분포에 가깝기 때문입니다. n−1명만 맞는 배치는 존재하지 않습니다 — 한 명 빼고 다 맞으면 남은 한 명도 자기 것일 수밖에 없습니다.

확률의 급수 Σ (−1)^k/k!에서 항의 부호가 번갈아 붙기 때문입니다. 마지막 항의 부호에 따라 값이 1/e 위아래로 오가며 다가가고, n이 커질수록 그 차이는 1/(n+1)!보다 작아집니다.

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