디지털 루트·구거법 검산기

자릿수를 다 더하는 것을 한 자리가 될 때까지 되풀이하면 됩니다. 9875는 29 → 11 → 2가 되어 디지털 루트가 2입니다. 되풀이할 것도 없이 1 + (n − 1) mod 9라는 닫힌 식으로 바로 낼 수도 있습니다. 0의 디지털 루트만 0이고 나머지는 모두 1에서 9 사이입니다.

10을 9로 나누면 1이 남기 때문입니다. 100, 1000도 마찬가지라 각 자리의 자릿값이 모두 1로 줄어들고, 그래서 자릿수의 합과 그 수 자체가 9로 나눈 나머지가 같아집니다. 디지털 루트가 9인 수가 곧 9의 배수이고, 3의 배수 판정도 같은 이유로 자릿수 합으로 됩니다.

양변의 9 나머지만 견주면 됩니다. 나머지 연산이 덧셈·곱셈과 잘 맞물리므로 dr(a × b) = dr(dr(a) × dr(b))가 성립합니다. 123 × 456 = 56088이면 6 × 6 = 36 → 9와 dr(56088) = 9가 맞아떨어집니다. 큰 수를 다시 곱해 볼 것 없이 한 자리끼리만 견주면 되는 것이 이 방법의 값어치입니다.

아닙니다. 구거법은 틀린 것을 잡아 줄 뿐이며, 나머지가 어긋나면 반드시 틀렸지만 그 역은 성립하지 않습니다. 답이 9·18·90처럼 9의 배수만큼 어긋난 경우는 아홉 번에 한 번꼴로 그냥 통과합니다. 검산을 통과했다는 것은 「적어도 이 시험은 통과했다」는 뜻일 뿐입니다.

구거법으로는 절대 잡을 수 없습니다. 두 자리를 맞바꾸면 값이 반드시 9의 배수만큼 달라지므로 9 나머지가 그대로이기 때문입니다. 「1234를 1243으로 적었다」 같은 흔한 실수가 정확히 이 경우라, 오히려 구거법이 가장 약한 자리입니다.

11로 나눈 나머지를 함께 보면 됩니다. 10을 11로 나누면 −1이 남으므로 자릿수를 오른쪽부터 더하고 빼기를 번갈아 하면 11 나머지가 나옵니다. 이웃한 두 자리를 맞바꾸면 이 교대합이 두 자리 차이의 2배만큼 달라져 반드시 걸립니다. 9와 11을 함께 보면 99로 나눈 나머지를 보는 셈이라 그냥 지나갈 확률이 아홉 배 낮아집니다.

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