프랙탈 차원 계산기

D = log N / log s입니다. 도형을 1/s 크기로 줄인 조각 N개로 덮을 수 있을 때의 지수입니다. 선분은 1/3로 줄인 조각 3개, 정사각형은 9개, 정육면체는 27개가 필요해 각각 1, 2, 3이 나옵니다. 로그의 밑은 무엇이든 상관없습니다 — 분자와 분모에서 상쇄됩니다.

한 번 자를 때마다 길이 1/3짜리 조각이 4개 생기기 때문입니다. N = 4, s = 3이므로 D = log 4 / log 3 = 1.26186입니다. 조각이 3개면 1, 9개면 2가 나오는데 4개라서 그 사이의 값이 나옵니다.

1차원 자로 재면 무한대가 되고 2차원 넓이로 재면 0이 된다는 뜻입니다. 코흐 곡선을 길이로 재면 자를 잘게 할수록 (4/3)의 거듭제곱으로 늘어나 발산하고, 넓이로 재면 0입니다. 어느 쪽으로도 제대로 재지지 않고, 발산도 소멸도 하지 않는 유일한 차원이 1.2619입니다.

아닙니다. 힐베르트 곡선은 선인데도 평면을 빈틈없이 채워 차원이 정확히 2입니다. 정사각형을 4등분해 전부 지나므로 N = 4, s = 2이고 log 4 / log 2 = 2입니다. 시어핀스키 사면체도 마찬가지로 정확히 2입니다.

자를 짧게 할수록 잰 길이가 계속 커지기 때문입니다. 차원 D인 선을 길이 ε인 자로 재면 L(ε)이 ε의 (1−D)제곱에 비례하는데, D가 1보다 크면 지수가 음수라 ε을 줄일수록 L이 커집니다. 리처드슨이 국경선 길이가 자료마다 다른 것을 조사하다 발견했고, 「프랙탈」이라는 말이 여기서 나왔습니다.

이 계산기로는 안 됩니다. 실측 자료는 여러 크기의 상자로 덮어 세고 log N(ε) 대 log(1/ε)에 직선을 맞추는 박스 카운팅이 필요한데, 회귀가 들어가면 결과가 자료 범위와 상자 크기 선택에 따라 흔들립니다. 이 도구는 구성 규칙이 정해진 자기유사 도형만 다룹니다.

엄밀한 자기유사 도형에서는 두 값이 일치하지만 정의가 다릅니다. 자기유사 차원은 구성 규칙의 N과 s에서 바로 읽는 값이고, 하우스도르프 차원은 「어느 차원으로 재야 0도 무한대도 아닌가」로 정의합니다. 이 계산기의 「차원별로 재 보기」 표가 그 정의를 그대로 보여 주는 것입니다.

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