로지스틱 사상(분기·카오스) 계산기
xₙ₊₁ = r·xₙ(1−xₙ)를 돌려 r에 따라 한 점에서 2주기·4주기를 거쳐 카오스로 가는 모습을 보입니다. 분기점을 직접 찾아 간격비가 파이겐바움 상수 4.669…에 다가가는지 확인하고, 리아푸노프 지수와 초기조건 민감성도 함께 냅니다.
0부터 4까지. 4를 넘으면 궤도가 [0,1]을 벗어나 발산합니다
0과 1 사이. 과도기를 버리므로 어디서 출발해도 도달하는 곳은 대개 같습니다
r = 3.9 에서의 궤도
주기를 찾지 못했습니다 (카오스)
리아푸노프 지수 λ = 0.4991 — 양수이므로 가까운 두 궤도가 벌어집니다(카오스)
과도기 뒤의 값 (앞 24개)
x 0 = 0.268670354 x 1 = 0.766297721 x 2 = 0.698433543 x 3 = 0.821434103 x 4 = 0.572052458 x 5 = 0.954752929 x 6 = 0.168479117 x 7 = 0.546366227 x 8 = 0.966615675 x 9 = 0.125852267 x10 = 0.429052548 x11 = 0.955369190 x12 = 0.166291713 x13 = 0.540691239 x14 = 0.968542470 x15 = 0.118825019 x16 = 0.408351973 x17 = 0.942242493 x18 = 0.212244152 x19 = 0.652066631 x20 = 0.884815384 x21 = 0.397476768 x22 = 0.934007049 x23 = 0.240387739
분기 다이어그램
점선은 아래 표의 주기 배가 분기점, 굵은 선은 지금 고른 r입니다. 오른쪽으로 갈수록 갈래가 두 배씩 늘다가 r∞ = 3.569945672 부터 뭉개집니다. 그 안에도 하얗게 비어 보이는 자리가 있는데 3주기 창(r ≈ 3.83)처럼 다시 주기로 돌아가는 구간입니다.
주기 배가 분기점과 파이겐바움 상수
| k | 분기점 rₖ | 주기 | 앞과의 간격 | 간격비 (δ 어림) |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 3(r = 3) | 1 → 2 | — | — |
| 2 | 3.449489743(r = 1 + √6) | 2 → 4 | 0.449489743 | — |
| 3 | 3.54409036 | 4 → 8 | 0.094600617 | 4.751446 |
| 4 | 3.564407266 | 8 → 16 | 0.020316907 | 4.656251 |
| 5 | 3.56875942 | 16 → 32 | 0.004352153 | 4.668242 |
| 6 | 3.56969161 | 32 → 64 | 0.00093219 | 4.668739 |
| 7 | 3.569891259 | 64 → 128 | 0.00019965 | 4.669132 |
마지막 간격비 4.669132 와 참값 4.669201609 의 차이는 0.000069입니다. 이 표의 rₖ는 알려진 값을 적어 넣은 것이 아니라 궤도의 곱미분이 −1이 되는 지점을 이분법으로 찾은 것이므로, 간격비가 4.669에 다가가는 것 자체가 계산이 맞았다는 검산입니다.
x₀와 x₀+ε 두 궤도가 얼마나 빨리 갈라지는지 봅니다
초기값을 ε만큼 달리한 두 궤도
| n | x₀에서 | x₀+ε에서 | 벌어진 정도 |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.200000000 | 0.200000000 | 1.000e-10 |
| 5 | 0.565661470 | 0.565661467 | 2.842e-9 |
| 10 | 0.097965981 | 0.097965975 | 5.706e-9 |
| 15 | 0.209974931 | 0.209974774 | 1.575e-7 |
| 20 | 0.292551459 | 0.292555278 | 3.819e-6 |
| 25 | 0.736720047 | 0.736640053 | 7.999e-5 |
| 30 | 0.887619287 | 0.888939062 | 1.320e-3 |
| 35 | 0.715819892 | 0.671937868 | 4.388e-2 |
| 40 | 0.891241309 | 0.374759045 | 5.165e-1 |
| 45 | 0.590160648 | 0.965034352 | 3.749e-1 |
| 50 | 0.368628298 | 0.461564871 | 9.294e-2 |
| 55 | 0.972611140 | 0.231626258 | 7.410e-1 |
| 60 | 0.881420985 | 0.138641975 | 7.428e-1 |
계산 방법
- 1매개변수 r을 정합니다. 아래 버튼으로 대표적인 값을 바로 넣을 수 있습니다.
- 2궤도가 몇 주기로 자리 잡는지, 리아푸노프 지수가 양수인지 음수인지 봅니다.
- 3분기 다이어그램에서 지금 고른 r이 어디에 있는지 굵은 선으로 확인합니다.
- 4분기점 표의 «간격비»가 4.669에 다가가는지로 계산을 검산합니다.
자주 묻는 질문
xₙ₊₁ = r·xₙ(1−xₙ)라는 이차식 하나를 되풀이해 돌리는 이산 동역학계입니다. 한 세대의 개체수 비율 x에서 다음 세대를 얻는 모형으로 시작했지만, 지금은 «아주 단순한 규칙에서 예측 불가능한 행동이 나온다»는 것을 보이는 가장 짧은 예로 더 유명합니다.
r = 3에서 한 점이 두 점으로, r = 1 + √6 = 3.449489…에서 두 점이 네 점으로 갈라집니다. 이 둘은 손으로 풀립니다. 고정점 x* = 1 − 1/r의 안정성은 |f′(x*)| = |2 − r|로 정해지고, 2주기 궤도의 곱미분은 4 + 2r − r²이어서 각각 1과 −1이 되는 지점이 그 값입니다. 그 뒤로는 3.544090…, 3.564407…, 3.568759…로 이어지며 r∞ = 3.569945…에 쌓입니다.
분기점 사이 간격이 줄어드는 비율 δ = 4.669201609…입니다. (rₖ − rₖ₋₁)/(rₖ₊₁ − rₖ)를 계산하면 이 값에 다가갑니다. 놀라운 것은 이 값이 로지스틱 사상만의 것이 아니라 «봉우리가 하나인 매끄러운 사상» 전체에 공통이라는 점입니다. 식이 x(1−x)든 sin(πx)든 같은 값이 나오고, 물의 대류나 전자회로의 발진에서도 관찰됩니다.
알려진 값을 적어 넣지 않고 매번 계산합니다. 주기 2^(k−1) 궤도를 반복과 뉴턴법으로 찾은 뒤, 궤도를 한 바퀴 돌며 f′를 곱한 값(곱미분)의 절댓값이 1을 넘는 r을 이분법으로 찾습니다. 그렇게 얻은 분기점들로 계산한 간격비가 4.669에 다가가는 것 자체가 검산이 됩니다.
카오스인지 아닌지를 숫자 하나로 답합니다. λ = 평균 ln|r(1 − 2xₙ)|이며, 음수면 가까운 두 궤도가 붙어 주기로 자리 잡고 양수면 벌어져 카오스가 됩니다. 분기점에서는 정확히 0입니다. r = 4에서는 해석적으로 λ = ln 2 = 0.6931임이 알려져 있습니다.
몇십 걸음까지만 믿을 수 있습니다. r = 3.9에서 초기값이 10⁻¹⁰만 달라도 예순 걸음이면 궤도 크기만큼 벌어집니다. 컴퓨터의 반올림 오차도 그만한 차이이므로 «300걸음 뒤의 x»는 어떤 계산기로도 맞힐 수 없습니다. 다만 궤도가 머무는 «모양»(분기 다이어그램)은 오차와 상관없이 같습니다.
있습니다. r ≈ 3.83 언저리의 3주기 창이 가장 넓고, 분기 다이어그램에서 하얗게 비어 보이는 자리가 그런 구간입니다. 3주기가 나타나면 모든 주기가 존재한다는 것이 샤르코프스키 정리로 알려져 있습니다.
다릅니다. 인구 증가 쪽은 dN/dt = rN(1 − N/K)라는 연속 미분방정식이라 해가 S자 곡선 하나로 끝나고 카오스가 없습니다. 시간이 이어져 있으면 궤도가 스스로를 가로지를 수 없기 때문입니다. 여기서 다루는 것은 한 세대씩 껑충 뛰는 이산 사상이고, 그 뜀이 카오스를 만듭니다.
전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- r은 0부터 4까지만 받습니다. 4를 넘으면 궤도가 [0,1]을 벗어나 발산합니다.
- 분기점은 7번째(주기 128)까지 찾습니다. 그 위로는 궤도 수렴이 느려 값이 흔들립니다.
- 주기는 64까지만 판정합니다. 그보다 길거나 주기가 없으면 «카오스»로 표시합니다.
- 과도기 2,000걸음을 버린 뒤의 궤도를 봅니다. 초기값이 달라도 도달하는 곳은 대개 같습니다.
- 카오스 구간의 개별 값은 몇십 걸음 뒤면 반올림 오차만으로도 달라집니다. 값보다 모양을 보는 도구입니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 2일 · 결과는 참고용 추정치입니다.