도구스학업·수학

수소 원자 스펙트럼 계산기

뤼드베리 식으로 수소의 방출선 파장을 구합니다. 라이먼·발머·파셴 계열과 보어 모형의 에너지 준위를 함께 보여 줍니다.

발머 1885 · 한계선 364.71 nm

n₁ = 2 보다 커야 합니다. 전자가 n₂ 에서 n₁ 로 떨어질 때 빛이 나옵니다.

발머 계열 · n = 3 → 2

656.47 nm

빨강 빛입니다. 광자 에너지는 1.889 eV 이고, 관측표에 실리는 공기 중 파장은 656.29 nm 입니다.

이 선의 색 — 빨강 (#ff0000)
파장 (진공)656.47 nm
파장 (공기 중)656.29 nm
진동수4.57×10¹⁴ Hz
광자 에너지1.8887 eV
출발 준위 E(3)-1.5109 eV
도착 준위 E(2)-3.3996 eV
에너지 차이 ΔE1.8887 eV

발머 계열의 선들 (한계선 364.71 nm)

n = 3 → 2 · 빨강656.47 nm
n = 4 → 2 · 파랑486.27 nm
n = 5 → 2 · 보라434.17 nm
n = 6 → 2 · 보라410.29 nm
n = 7 → 2 · 보라397.12 nm
n = 8 → 2 · 보라389.02 nm
n = ∞ → 2 · 자외선364.71 nm

가시광 스펙트럼 위의 발머 선 (380~750nm)

수소 방전관을 분광기로 보면 이 위치에 밝은 선이 뜹니다. 반대로 별빛을 볼 때는 같은 자리가 검게 파여 있습니다 — 별 표면의 수소가 그 파장만 골라 먹기 때문입니다.

에너지 준위와 이번 전이

n = ∞ · 0 eV
n=2 · -3.40 eVn=3 · -1.51 eV
E(1)-13.5983 eV · 반지름 0.053 nm
E(2)-3.3996 eV · 반지름 0.212 nm
E(3)-1.5109 eV · 반지름 0.476 nm
E(4)-0.8499 eV · 반지름 0.847 nm
E(5)-0.5439 eV · 반지름 1.323 nm
E(6)-0.3777 eV · 반지름 1.905 nm
E(7)-0.2775 eV · 반지름 2.593 nm
E(8)-0.2125 eV · 반지름 3.387 nm

위로 갈수록 준위 간격이 좁아집니다. n이 커질수록 에너지가 0에 몰리기 때문이고, 그래서 계열의 선들도 짧은 파장 쪽에 촘촘히 모이다가 한계선에서 끝납니다.

수소 방전관이 분홍빛으로 보이는 이유입니다. 눈에 띄는 발머선은 빨강 656nm, 청록 486nm, 보라 434nm·410nm 네 개인데, 가장 밝은 빨강에 파랑·보라가 섞여 분홍빛으로 보입니다. 라이먼 계열은 전부 자외선, 파셴 이상은 전부 적외선이라 사람 눈으로 볼 수 있는 수소선은 발머 계열뿐입니다.

파장으로 거꾸로 찾기

nm

분광기에서 읽은 값을 넣으면 어느 전이인지 찾아 줍니다.

가장 가까운 전이n = 3 → 2 (발머)
그 선의 파장 (진공)656.47 nm
입력값과의 차이0.17 nm

보어 모형 요약

이온화 에너지 (n=1)13.5983 eV
바닥상태 에너지 E₁-13.5983 eV
보어 반지름 (n=1)0.0529 nm
궤도 반지름 (n=3)0.4763 nm
수소의 뤼드베리 상수 R_H1.09678×10⁷ /m
R_H·hc13.5983 eV
R∞ 가 아니라 R_H 로 계산합니다. 교과서의 뤼드베리 상수 1.0974×10⁷/m 는 원자핵이 무한히 무겁다고 놓은 값이라, 실제 수소는 전자와 양성자가 함께 도는 만큼 보정해야 합니다(R_H = R∞ ÷ (1 + mₑ/m_p) = 1.09678×10⁷/m). 보정을 빼면 이온화 에너지가 13.6057eV로 나오는데 실측값은 13.5984eV입니다. 이 계산기는 보정한 값을 씁니다.
계산값은 진공에서의 파장입니다. 관측표에 실린 Hα 656.28nm 같은 값은 공기 중에서 잰 것이라 공기의 굴절률만큼(약 0.028%) 짧습니다. 여기서는 가시광 선에 한해 둘을 나란히 보여 줍니다. 소수 둘째 자리까지 맞춰야 하는 문제라면 어느 쪽을 묻는지 먼저 확인하세요.

계산 방법

  1. 1계열을 고릅니다. 전자가 떨어져 도착하는 준위 n₁ 이 계열을 정합니다.
  2. 2출발 준위 n₂ 를 넣으면 그 전이에서 나오는 빛의 파장이 나옵니다.
  3. 3분광기에서 읽은 파장을 넣어 어느 전이인지 거꾸로 찾을 수도 있습니다.

자주 묻는 질문

전자가 n=2 준위로 떨어질 때 나오는 빛의 무리입니다. 수소에서 사람 눈에 보이는 선은 이 계열뿐이라 가장 먼저 발견됐고(1885년), 빨강 656nm·청록 486nm·보라 434nm·410nm 네 줄이 잘 보입니다. 라이먼 계열은 자외선, 파셴 이상은 적외선이라 눈에 띄지 않습니다.

1/λ = R(1/n₁² − 1/n₂²) 에 두 준위를 넣으면 됩니다. n₁ 이 도착 준위, n₂ 가 출발 준위이며 n₂ 가 더 커야 빛이 나옵니다. 예를 들어 n=3에서 2로 떨어지면 1/λ = R(1/4 − 1/9) 이라 656nm 빨간빛이 나옵니다.

수소에는 R∞ 가 아니라 R_H = 1.09678×10⁷/m 를 써야 정확합니다. 교과서에 자주 나오는 1.0974×10⁷/m 는 원자핵이 무한히 무겁다고 가정한 값이라, 실제 수소에서는 전자와 양성자가 함께 도는 만큼 보정이 필요합니다. 보정을 빼면 이온화 에너지가 13.6057eV로 나와 실측값 13.5984eV와 어긋납니다.

n₂ 를 무한대로 보냈을 때의 파장으로, 그 계열에서 가장 짧은 파장입니다. 발머 계열은 364.7nm, 라이먼 계열은 91.2nm입니다. 전자가 아주 먼 곳에서 떨어져 오는 경우라, 라이먼 한계선의 광자 에너지 13.60eV가 곧 수소의 이온화 에너지입니다.

전자가 가질 수 있는 에너지가 띄엄띄엄하기 때문입니다. 아무 값이나 가질 수 있다면 무지개처럼 이어진 빛이 나오겠지만, 정해진 준위 사이만 오갈 수 있어 그 차이에 해당하는 파장만 나옵니다. 원소마다 준위가 달라 스펙트럼이 지문처럼 다르고, 이것으로 별의 성분을 알아냅니다.

같은 파장의 흡수선입니다. 별 표면의 수소가 자기 준위 차이에 맞는 빛만 골라 흡수해서 그 자리가 검게 파입니다. 방출선과 정확히 같은 위치라, 656nm 자리의 검은 선을 보면 그 별에 수소가 있다는 뜻입니다.

진공과 공기의 차이입니다. 뤼드베리 식은 진공에서의 파장을 주고, 관측표에 실린 값(Hα 656.28nm)은 공기 중에서 잰 것이라 굴절률만큼 약 0.028% 짧습니다. 이 계산기는 가시광 선에 대해 두 값을 나란히 보여 줍니다.

알아두면 좋은 점

  • 보어 모형은 전자가 하나인 원자에만 맞습니다. 헬륨 이상에서는 어긋납니다.
  • 미세구조 갈라짐은 다루지 않습니다. 실제 선은 아주 가까운 여러 선이 겹친 것입니다.
  • 계산값은 진공 파장이며, 공기 중 값은 굴절률 1.000277로 환산한 근사입니다.

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