키스 수 판정기

자릿수를 그대로 수열의 처음 항들로 놓고, 그다음부터는 바로 앞 k개항(k는 자릿수 개수)의 합으로 다음 항을 만들었을 때 원래 수가 그 수열에 다시 나타나는 수입니다. 14는 1, 4로 시작해 5(=1+4), 9(=4+5), 14(=5+9)로 이어져 14가 다시 나오므로 키스 수입니다. 1965년 Richard Keith가 소개했고, 자릿수를 반복해 사용한다는 뜻에서 «repfigit number»(REPetitive FIbonacci-like diGIT number)라고도 부릅니다.

피보나치는 항상 «바로 앞 2개항»을 더해 다음 항을 만들지만, 키스 수는 자릿수 개수 k에 따라 더하는 항의 개수가 달라집니다. 두 자리 수(14 등)는 피보나치와 똑같이 앞 2개항을 더하지만, 197처럼 세 자리 수는 앞 3개항을, 더 자리가 많으면 그만큼 더 많은 항을 더합니다. 또 초항이 무작위가 아니라 판정하려는 수의 자릿수 그 자체입니다.

셋 다 «자릿수로 자기 자신을 다시 만드는» 자기서술적 수이지만 방법이 다릅니다. 나르시시스트 수(armstrong-number)와 뮌하우젠 수(munchausen-number)는 각 자릿수를 거듭제곱해 더하는 한 번의 계산으로 끝나지만, 키스 수는 자릿수를 초항 삼아 점화식을 여러 걸음 이어가야 판정할 수 있습니다.

한 자리 수는 «앞 1개항의 합»이 항상 자기 자신이 되어 수열이 그 수를 무한히 반복할 뿐이라, 모든 한 자리 수가 자명하게 성립해 버립니다. 정의가 의미를 가지려면 두 자리 이상이어야 해서, 통상 두 자리 이상만 키스 수로 다룹니다.

자릿수는 모두 0 이상이라 수열이 줄어드는 일이 없고, 앞 k개항의 합은 그중 가장 큰 항보다 크거나 같아 매 걸음 커지거나 유지됩니다. 그래서 언젠가 반드시 원래 수를 넘어서고, 그 순간 「지나쳤다(키스 수 아님)」 또는 「정확히 맞았다(키스 수)」로 판정이 끝납니다.

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