뮌하우젠 수 판정기

각 자릿수를 «자기 자신»만큼 거듭제곱해 더한 값이 원래 수와 같은 자연수입니다. 3435 = 3³ + 4⁴ + 3³ + 5⁵ = 27 + 256 + 27 + 3125가 그 예입니다. 허풍쟁이 이야기로 유명한 «뮌하우젠 남작»에서 이름을 땄습니다 — 자기 머리카락을 잡아당겨 늪에서 스스로를 빼냈다는 일화처럼, 수가 자기 자신을 거듭제곱해 자기 자신을 다시 만들어 낸다는 뜻입니다.

지수를 정하는 방식이 다릅니다. 나르시시스트 수는 모든 자릿수에 «자릿수 개수»라는 똑같은 지수를 씁니다 — 153(3자리)은 1³+5³+3³처럼 지수가 셋 다 3입니다. 뮌하우젠 수는 자릿수마다 «그 자릿수 자신»을 지수로 씁니다 — 3435는 지수가 3·4·3·5로 자리마다 다릅니다. 153은 나르시시스트 수이지만 1¹+5⁵+3³ = 3153이라 뮌하우젠 수는 아닙니다.

그 자리의 기여를 0으로 봅니다. 수학에서 0⁰은 문맥에 따라 1로 정의하기도 하지만, 뮌하우젠 수는 이름을 처음 붙인 정의를 따라 0⁰ = 0으로 약속합니다. 0⁰ = 1로 두면 438579088처럼 0이 낀 수의 판정이 달라져 다른 집합(«약한 뮌하우젠 수»)이 나옵니다. 이 도구는 표준 약속(0⁰ = 0)만 다룹니다.

0, 1, 3435, 438579088 넷뿐이고, 이것으로 완결된 목록입니다. d자리 수의 자릿수 거듭제곱 합은 아무리 커도 d×9⁹(9자리면 약 34억7천만)인데, 수 자신은 최소 10^(d-1)이라 9자리를 넘으면 합이 수를 절대 따라잡지 못합니다. 그래서 9자리 이하만 전수 확인하면 되고, 다섯 번째는 앞으로도 나오지 않습니다.

정의를 그대로 적용하면 그렇습니다. 0은 자릿수가 «0» 하나뿐이고 0⁰ = 0이므로 합이 0으로 자기 자신과 같습니다. 1도 1¹ = 1로 자명하게 성립합니다. 다만 대부분의 소개 글은 이 둘을 자명한 경우로 제쳐두고 3435와 438579088만 «진짜» 뮌하우젠 수로 소개하는 경우가 많습니다.

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