뫼비우스 함수·메르텐스 함수 계산기
μ(n)을 소인수분해로 내고 그 누적합인 메르텐스 함수 M(n)까지 함께 보여 줍니다. 약수의 μ를 모두 더하면 n=1일 때만 1이 되는 성질과 오일러 파이와의 관계를 직접 확인할 수 있습니다.
μ(30)
−1
30 = 2 × 3 × 5. 서로 다른 소수 3개의 곱이라 (−1)^3 = −1입니다.
약수마다의 μ — 모두 더하면 0
| 약수 d | μ(d) | n/d | μ(d)·(n/d) |
|---|---|---|---|
| 1 | +1 | 30 | 30 |
| 2 | −1 | 15 | -15 |
| 3 | −1 | 10 | -10 |
| 5 | −1 | 6 | -6 |
| 6 | +1 | 5 | 5 |
| 10 | +1 | 3 | 3 |
| 15 | +1 | 2 | 2 |
| 30 | −1 | 1 | -1 |
| 합 | 0 | 8 |
왼쪽 합이 n = 1일 때만 1이고 나머지는 언제나 0입니다. 서로 다른 소인수가 k개일 때 0이 아닌 항이 「k개 중 몇 개를 고르는가」로 정해지고, 이항정리로 Σ(−1)ʲC(k, j) = (1 − 1)ᵏ = 0이 되기 때문입니다. 이 성질이 뫼비우스 반전의 뼈대입니다. 오른쪽 합은 φ(n)이고, 소인수분해로 직접 구한 8과 같습니다.
μ(1)부터 μ(30)까지
진하게 칠한 것이 +1(소인수가 짝수 개), 흰 바탕의 −1이 홀수 개, 흐린 0이 제곱인수가 있는 수입니다. 눌러 보면 그 수로 옮겨 갑니다.
메르텐스 함수 M(k) 와 ±√k 띠
점선이 ±√k입니다. M(k)는 +1과 −1이 상쇄되며 아주 느리게 자라 30까지 더해도 M(30) = -3에 머뭅니다. |M(k)|/√k가 가장 컸던 자리는 k = 5에서 0.894였습니다.
계산 방법
- 1수를 넣으면 μ(n)과 소인수분해가 나옵니다. 100만까지 다룹니다.
- 2약수 표에서 μ를 모두 더해 보면 n이 1일 때만 1이고 나머지는 0인 것을 확인할 수 있습니다.
- 3φ(n)을 뫼비우스 반전으로 구한 값과 소인수분해로 구한 값이 같은지 비교합니다.
- 4아래 메르텐스 함수 그림에서 M(n)이 ±√n 띠 안에서 얼마나 느리게 자라는지 봅니다.
자주 묻는 질문
n = 1이면 1, 같은 소수가 두 번 이상 나오면(제곱인수가 있으면) 0, 서로 다른 소수 k개의 곱이면 (−1)^k입니다. 「소인수가 짝수 개면 +1, 홀수 개면 −1, 제곱인수가 있으면 0」이 전부입니다. 예를 들어 μ(30) = μ(2·3·5) = −1이고 μ(12) = μ(2²·3) = 0입니다.
Σ_{d|n} μ(d)는 n = 1일 때만 1이고 나머지는 0입니다. n의 서로 다른 소인수가 k개일 때 0이 아닌 항은 「그 k개 중 몇 개를 고르는가」로 정해지고, 이항정리로 Σ (−1)^j C(k, j) = (1 − 1)^k = 0이 되기 때문입니다. k = 0, 즉 n = 1일 때만 1이 남습니다. 이 성질이 뫼비우스 반전의 뼈대입니다.
φ(n) = Σ_{d|n} μ(d) × (n/d)입니다. n = Σ_{d|n} φ(d)를 뫼비우스 반전한 결과입니다. 이 계산기는 이 식으로 구한 φ와 소인수분해로 직접 구한 φ를 나란히 보여 주므로 두 값이 같은지 눈으로 확인할 수 있습니다.
n이 커지면 비율이 6/π² ≈ 0.6079에 가까워집니다. 아무 수나 골랐을 때 제곱인수가 없을 확률이 약 61%라는 뜻입니다. 개수는 Q(N) = Σ_{k≤√N} μ(k)·⌊N/k²⌋로 정확히 셀 수 있는데, k²의 배수를 빼고 더하는 포함배제가 정확히 μ로 쓰이기 때문입니다. 100 이하에는 61개가 있습니다.
M(n) = μ(1) + μ(2) + … + μ(n), 즉 μ의 누적합입니다. +1과 −1이 서로 상쇄되어 아주 느리게 자랍니다. 100만까지 더해도 절댓값이 세 자리에 머뭅니다.
반례가 존재한다는 것이 1985년 오들리즈코와 테 릴레에 의해 증명되어 무너졌습니다. n > 1에서 |M(n)| < √n이 항상 성립하리라는 추측이었고, 참이었다면 리만 가설도 따라 나올 만큼 강한 주장이었습니다. 다만 그 증명은 반례의 존재만 보였을 뿐이라 구체적으로 어떤 수가 반례인지는 지금도 모릅니다. 아주 큰 수라는 것만 알려져 있어 이 계산기의 범위에서는 볼 수 없습니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 검증은 두 가지 방법을 대조하는 방식으로 했습니다. 선형 체로 한 번에 낸 μ와 수 하나하나를 소인수분해해 낸 μ가 1부터 50,000까지 완전히 일치하는 것을 확인했습니다.
- Σ_{d|n} μ(d)가 n = 1일 때만 1이고 나머지는 0인 것, φ(n) = Σ_{d|n} μ(d)·(n/d)가 소인수분해로 낸 φ와 정확히 같은 것을 500까지 전수로 고정했습니다.
- 제곱인수 없는 수의 개수도 포함배제 식으로 낸 값과 μ ≠ 0인 것을 하나하나 세어 얻은 값이 같은지 여러 지점에서 대조했습니다. 100만까지의 비율이 6/π²와 0.0005 안에서 맞는 것도 확인했습니다.
- n = 1에서는 |M(1)| = √1 = 1로 등호라 메르텐스 추측이 애초에 n > 1에 대한 주장입니다. 처음 이 경계를 빼지 않아 검사가 걸렸고, 그 자리를 별도 테스트로 남겨 두었습니다.
- 100만 이하 n > 1에서 |M(n)| < √n이 한 번도 깨지지 않는 것을 전수로 확인했습니다. 반례가 존재한다는 것은 증명되었지만 여기서 볼 수 있는 크기가 아닙니다.
- 100만까지 다룹니다. 그보다 크면 체를 만드는 데 드는 메모리가 브라우저에서 부담이 됩니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.