포함배제 원리 계산기

|A∪B| = |A| + |B| − |A∩B|이고, 세 집합이면 |A|+|B|+|C| − |A∩B|−|A∩C|−|B∩C| + |A∩B∩C|입니다. 일반적으로 크기가 홀수인 교집합은 더하고 짝수인 교집합은 뺍니다. 그냥 더하면 겹치는 원소를 여러 번 세기 때문입니다.

두 집합에 모두 든 원소는 |A|와 |B|에서 두 번 세어지므로 한 번 빼야 합니다. 세 집합에 모두 든 원소는 처음에 세 번 세어졌다가 짝을 뺄 때 세 번 빠져 0이 되므로, 마지막에 한 번 더해야 정확히 한 번 세어집니다. 이 조정이 계속 이어져 부호가 번갈아 붙습니다.

항이 2ⁿ − 1개로 늘어납니다. 2개면 3항, 3개면 7항, 4개면 15항, 10개면 1,023항입니다. 그래서 집합이 많을 때는 이 식을 그대로 쓰지 않고, 「적어도 하나」를 「하나도 아닌 것」의 여사건으로 바꾸는 식으로 돌아갑니다.

있습니다. 교집합이 각 집합보다 클 수 없고, 세 집합의 교집합이 두 집합의 교집합보다 클 수 없습니다. 그것만 지켜도 부족해서, 벤 다이어그램의 각 조각(예: A에만 드는 원소)이 음수가 되면 안 됩니다. 이 검사를 하지 않으면 말이 안 되는 답이 그대로 나옵니다.

|A| − |A∩B| − |A∩C| + |A∩B∩C|입니다. 합집합을 구할 때와 같은 원리로, 겹치는 것을 빼되 두 번 뺀 것을 다시 더합니다. 이렇게 구한 조각들의 합은 언제나 합집합 크기와 같아야 합니다.

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