완전수·친화수 판정기

자기 자신을 뺀 약수를 모두 더하면 자기 자신이 되는 수입니다. 6의 진약수는 1, 2, 3이고 더하면 6이라 완전수입니다. 그다음은 28(1+2+4+7+14), 496, 8128이고 1만 이하에는 이 넷뿐입니다.

지금까지 52개가 알려져 있고 모두 짝수입니다. 짝수 완전수는 2^(p−1)(2^p − 1) 꼴이며 이때 2^p − 1이 소수(메르센 소수)여야 한다는 것이 유클리드–오일러 정리인데, 이 대응이 일대일이라 메르센 소수를 하나 찾을 때마다 완전수가 하나 늘어납니다. 새 완전수를 찾는 일이 곧 새 메르센 소수를 찾는 일입니다.

있는지 없는지 아직 아무도 모릅니다. 2천 년 넘게 풀리지 않은 문제이며, 만약 있다면 10^1500보다 크고 서로 다른 소인수를 101개 넘게 가져야 한다는 것까지만 밝혀져 있습니다. 이 계산기가 다루는 100억 이하에는 확실히 없습니다.

서로의 진약수 합이 되는 두 수입니다. 220의 진약수를 더하면 284가 되고, 284의 진약수를 더하면 다시 220이 되므로 (220, 284)가 가장 작은 친화수 짝입니다. 우애수라고도 부르며, 완전수는 「자기 자신과 짝이 되는 경우」인 셈이지만 관례상 친화수로 세지 않습니다.

진약수의 합이 자기 자신보다 크면 과잉수, 작으면 부족수입니다. 가장 작은 과잉수는 12(1+2+3+4+6 = 16)이고, 홀수 중에서 가장 작은 과잉수는 한참 뒤인 945입니다. 소수는 진약수가 1뿐이라 모두 부족수입니다.

있습니다. 대부분은 소수에 닿아 1을 거쳐 0으로 끝나지만 276처럼 어디로 가는지 아직 모르는 수열이 있습니다(카탈랑–딕슨 추측). 이 계산기는 24걸음까지만 따라가고 그 안에 끝나지 않으면 「모른다」로 답합니다.

√n까지만 훑기 때문입니다. 약수는 d와 n/d가 짝을 이루고 둘 중 작은 쪽은 반드시 √n 이하이므로, 1부터 √n까지만 나눠 보면 모든 약수를 얻습니다. 100억이면 10만 번이면 끝나 n까지 훑는 것보다 10만 배 빠릅니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.