콜라츠 추측 계산기
짝수면 반으로, 홀수면 3n+1. 어떤 수가 1에 닿기까지의 궤적과 단계 수, 최고점을 그려 봅니다. 옆 수와 견주면 단계 수가 시작값과 전혀 비례하지 않는 것이 보입니다.
1 이상의 정수. 30자리까지 됩니다.
눌러서 바로 넣어 볼 수 있습니다.
1에 닿기까지
111단계
최고점 9,232 · 시작값의 342배
세로는 로그 눈금입니다. 한 칸이 열 배라 실제 오르내림은 이보다 훨씬 큽니다.
어떻게 오르내리는지 눈으로 따라가 보세요.
바로 옆 수인데도 단계 수가 전혀 다릅니다.
계산 방법
- 1시작할 수를 넣습니다. 30자리까지 됩니다.
- 21에 닿기까지의 단계 수와 최고점을 확인합니다.
- 3궤적 그래프에서 값이 어떻게 오르내리는지 봅니다. 세로는 로그 눈금입니다.
- 4옆 수와 견주는 표에서 단계 수가 얼마나 널뛰는지 확인합니다.
자주 묻는 질문
어떤 수로 시작하든 "짝수면 반으로, 홀수면 3n+1"을 반복하면 결국 1에 닿는다는 추측입니다. 규칙은 두 줄뿐인데 아직 아무도 증명하지 못했습니다. 3n+1 문제, 우박수 문제라고도 부릅니다.
아닙니다. 2025년 David Barina가 2⁷¹(약 2.36×10²¹)까지 컴퓨터로 확인했지만 그것이 증명은 아닙니다. 테라스(1976)는 "거의 모든 수"가 시작값 아래로 내려온다는 것을, 테렌스 타오(2019)는 "거의 모든 궤적"이 아주 작은 값까지 내려온다는 것을 증명했습니다. 둘 다 "거의 모든"이지 "모든"이 아닙니다.
값이 구름 속 우박처럼 오르내리다가 결국 떨어지기 때문입니다. 27로 시작하면 9,232까지 올라갔다가 111단계 만에 1로 내려옵니다.
전혀 비례하지 않습니다. 27은 111단계인데 바로 옆 28은 18단계뿐입니다. 값이 하나만 달라져도 단계 수가 널뛰며, 이 들쭉날쭉함이 이 문제를 어렵게 만드는 성질입니다.
홀수에 3n+1을 하면 결과가 반드시 짝수라 곧바로 반으로 나뉘기 때문입니다. 그래서 홀수 한 번은 실제로 약 1.5배이고 짝수는 0.5배입니다. 반반씩 나온다고 보면 한 단계마다 평균 0.87배가 되어 기하급수적으로 줄어듭니다. 다만 평균이 그렇다는 것과 모든 수가 그렇다는 것은 다른 이야기입니다.
정지 시간은 처음으로 시작값보다 작아지는 데 걸리는 단계이고, 총 정지 시간은 1에 닿는 데 걸리는 단계입니다. 27은 96단계 만에 27 아래로 내려오지만 1까지는 111단계가 걸립니다. 흔히 "콜라츠 단계 수"라고 하는 것은 뒤쪽입니다.
알아두면 좋은 점
- 2의 거듭제곱은 나누기만 반복하므로 지수만큼 걸리고, 궤적이 한 번도 올라가지 않습니다.
- 값이 금방 커져 전부 정수형(BigInt)으로 계산합니다. 시작값이 여덟 자리만 되어도 최고점이 10¹²를 넘는 경우가 있습니다.
- 유명한 시작값 목록은 단계 수 기록(OEIS A006877)과 최고점 기록(A006884)에서 가져왔고, 표에 적힌 값은 모두 실제 계산으로 맞춰 두었습니다.
- 궤적 그래프의 세로는 로그 눈금입니다. 한 칸이 열 배라 실제 오르내림은 그림보다 훨씬 큽니다.
함께 보면 좋은 도구
마지막 검증: 2026년 8월 30일 · 결과는 참고용 추정치입니다.