페랭 수열 계산기

P(n)=P(n-2)+P(n-3) 점화식으로 페랭 수열의 n번째 항을 정확히 계산하고, n이 소수이면 n이 P(n)을 나눈다는 페랭 소수 성질을 확인합니다.

몇 번째 항

번째

P(0)=3, P(1)=0, P(2)=2부터 셉니다.

P(20)

277

P(18) + P(17) = 158 + 119

20은(는) 소수인가소수 아님

20이(가) P(20)을 나누는가아님

P(20) / P(19)1.3253588517

플라스틱 수와의 차6.409e-4

n	P(n)
8	10
9	12
10	17
11	22
12	29
13	39
14	51
15	68
16	90
17	119
18	158
19	209
20	277

n이 소수이면 n이 P(n)을 나눕니다. 지금 n=20은(는) 소수가 아닙니다. 페르마 소정리처럼 「소수이면 성립하는」 필요조건이라, 이 성질이 성립한다고 해서 소수라고 단정할 수는 없습니다 — 아래를 보세요.

역은 성립하지 않습니다. 합성수인데도 n이 P(n)을 나누는 「페랭 유사소수(Perrin pseudoprime)」가 존재합니다. 가장 작은 예는 271441(=521²)로, 이 계산기가 다루는 범위보다 훨씬 큽니다. 그러니 이 성질 하나만으로 소수를 판정할 수 없고, 실제 소수 판정에는 밀러-라빈 같은 검증된 방법을 따로 써야 하는 것으로 추정됩니다.

파도반 수열과 점화식이 같아 이웃 항의 비도 같은 플라스틱 수 ρ ≈ 1.3247179572로 수렴합니다. 특성방정식(x³=x+1)이 같기 때문입니다 — 초항이 3, 0, 2로 달라도 점화식이 같으면 항이 커질수록 비는 같은 값에 가까워집니다. 다만 항의 값 자체(3, 0, 2, 3, 2, 5, ...)는 파도반과 전혀 다른 수열입니다.

값은 BigInt로 더해 나가 정확히 계산합니다. 표에 담을 항 번호에 상한을 두어 브라우저에서 바로 계산할 수 있는 범위로 제한했습니다.

계산 방법

1몇 번째 항을 볼지 입력합니다(P(0)부터 셉니다).
2P(n) 값과 n이 소수인지, n이 P(n)을 나누는지를 함께 확인합니다.
3앞선 항들의 표에서 점화식이 실제로 어떻게 이어지는지 볼 수 있습니다.

자주 묻는 질문

P(0)=3, P(1)=0, P(2)=2로 시작해서, 그다음부터는 두 칸 앞과 세 칸 앞의 항을 더하는 수열입니다(P(n)=P(n-2)+P(n-3)). 3, 0, 2, 3, 2, 5, 5, 7, 10, 12, 17, 22, 29... 로 이어집니다.

점화식(P(n)=P(n-2)+P(n-3))은 완전히 같고 초항만 다릅니다(파도반은 1,1,1, 페랭은 3,0,2). 특성방정식이 같은 x³=x+1이라 이웃 항의 비도 똑같이 플라스틱 수 ρ≈1.3247179572로 수렴하지만, 항의 값 자체는 전혀 다른 수열입니다.

n이 소수이면 n이 P(n)을 나눈다는 성질입니다(예: 7은 소수이고 P(7)=7이니 나누어떨어지고, 11은 소수이고 P(11)=22=11×2이니 나누어떨어집니다). 페르마 소정리처럼 「소수이면 성립하는」 필요조건입니다.

아닙니다. 그렇게 단정할 수 없습니다. n이 합성수인데도 n이 P(n)을 나누는 경우가 있는데, 이런 n을 페랭 유사소수(Perrin pseudoprime)라 부릅니다. 가장 작은 예는 271441(=521²)로 알려져 있습니다. 그러니 이 성질 하나만으로 소수를 판정할 수 없고, 필요조건일 뿐 충분조건이 아닙니다.

단독으로는 못 씁니다. 다만 밀러-라빈처럼 검증된 확률적 소수 판정법과 조합해 함께 걸러내는 용도로는 쓰입니다(BPSW 소수 판정법이 페랭류 검사와 뤼카 검사를 함께 씁니다). 실제 소수 판정이 필요하면 이 계산기가 아니라 밀러-라빈 소수 판정기를 쓰세요.

아니요. 모든 계산은 브라우저 안에서만 이뤄지며 서버로 전송되지 않습니다.

알아두면 좋은 점

값은 BigInt로 정확히 계산합니다 — 부동소수점 근사식을 쓰지 않아 오차가 없습니다.
「n이 P(n)을 나눈다」는 소수성의 필요조건일 뿐 충분조건이 아닙니다. 페랭 유사소수(가장 작은 예 271441)가 존재하므로 이 성질만으로 소수라고 단정할 수 없습니다.
표에 담을 항 번호에 상한을 두어 브라우저에서 바로 계산할 수 있는 범위로 제한합니다.

마지막 검증: 2026년 9월 8일 · 결과는 참고용 추정치입니다.

계산 방법

자주 묻는 질문

페랭 수열이 뭔가요?

파도반 수열과 뭐가 다른가요?

페랭 소수 성질이 뭔가요?

역으로 n이 P(n)을 나누면 n은 소수인가요?

그럼 소수 판정에는 못 쓰나요?

입력값이 서버로 전송되나요?

알아두면 좋은 점

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