픽의 정리(격자 다각형 넓이) 계산기
격자 위 다각형의 꼭짓점을 넣으면 넓이 = 내부 격자점 + 경계 격자점 ÷ 2 − 1을 확인해 줍니다. 경계 격자점은 변마다 gcd로 세고 내부 격자점은 식을 거꾸로 풀어 얻으므로, 점을 하나씩 세지 않고도 개수가 나옵니다.
한 줄에 하나씩 「x y」로, 이어지는 순서대로 적습니다. 정수여야 하고 음수도 됩니다.
격자점으로 구한 넓이
14
내부 격자점 6개 + 경계 격자점 18개 ÷ 2 − 1 = 14입니다. 신발끈 공식으로 낸 넓이와 같습니다.
까맣게 찬 점이 내부 격자점(I), 테두리만 있는 점이 경계 격자점(B), 흐린 점은 다각형 밖입니다. 변 위에 놓인 점은 꼭짓점이 아니어도 경계점으로 셉니다.
변마다 경계점이 몇 개인가
| 변 | Δx, Δy | gcd | 사이 격자점 |
|---|---|---|---|
| (0, 0) → (4, 0) | 4, 0 | 4 | 3개 |
| (4, 0) → (4, 2) | 0, 2 | 2 | 1개 |
| (4, 2) → (2, 2) | -2, 0 | 2 | 1개 |
| (2, 2) → (2, 5) | 0, 3 | 3 | 2개 |
| (2, 5) → (0, 5) | -2, 0 | 2 | 1개 |
| (0, 5) → (0, 0) | 0, -5 | 5 | 4개 |
| 경계 격자점 B = gcd의 합 | 18 | ||
한 변 위의 격자점은 양 끝을 빼고 gcd(|Δx|, |Δy|) − 1개입니다. 변 위의 점은 시작점에 (Δx, Δy)의 1/g씩을 더한 자리에서 나오고, 그런 자리가 정확히 g개이기 때문입니다. 한 바퀴 돌며 gcd를 더하면 꼭짓점이 정확히 한 번씩 세어져 B가 됩니다.
계산 방법
- 1꼭짓점을 한 줄에 하나씩 「x y」로, 이어지는 순서대로 적습니다.
- 2좌표는 모두 정수여야 합니다. 음수도 됩니다.
- 3그림에서 까만 점(내부)과 테두리 점(경계)이 몇 개인지 봅니다.
- 4변마다의 gcd 표에서 경계 격자점이 어떻게 세어지는지 확인합니다.
- 5신발끈 공식으로 낸 넓이와 픽의 식이 같은지 대조합니다.
자주 묻는 질문
격자 위 다각형의 넓이가 A = I + B/2 − 1이라는 정리입니다. I는 다각형 안쪽 격자점 수, B는 경계 위 격자점 수입니다. 1899년 게오르크 픽이 냈고, 넓이를 재는 대신 점을 세어 구할 수 있다는 것이 요점입니다. 예를 들어 한 변 3인 정사각형은 내부점 4개, 경계점 12개라 4 + 6 − 1 = 9가 됩니다.
변마다 gcd(|Δx|, |Δy|)를 더하면 됩니다. 한 변 위의 격자점은 양 끝을 빼고 gcd − 1개인데, 한 바퀴 돌며 gcd를 더하면 꼭짓점이 정확히 한 번씩 세어져 B가 나옵니다. (0,0)에서 (6,4)로 가는 변이면 gcd(6,4) = 2라 중간에 (3,2) 하나가 더 있고, gcd가 1이면 그 변에는 꼭짓점 말고 격자점이 없습니다.
픽의 식을 거꾸로 풀면 I = A − B/2 + 1입니다. 넓이는 신발끈 공식으로, 경계점은 gcd로 즉시 나오므로 격자점을 하나도 훑지 않고 내부점 개수를 얻을 수 있습니다. 이것이 이 정리의 실용적 쓸모입니다. 다각형이 아주 크면 점을 하나씩 세는 쪽은 아예 불가능해집니다.
꼭짓점이 모두 정수 격자 위에 있고 변끼리 가로지르지 않는 단순 다각형이어야 합니다. 꼭짓점이 (0.5, 0.5)처럼 반칸에 있으면 식이 깨지는데, 이것이 가장 흔한 오용입니다. 볼록하지 않아도 되고 구멍이 없으면 됩니다. 구멍이 있으면 구멍마다 넓이가 1씩 더해지는 확장식을 따로 써야 합니다.
I와 B가 정수이므로 I + B/2 − 1도 반드시 반칸 단위이기 때문입니다. 그래서 격자 삼각형의 넓이는 1/2보다 작아질 수 없고, 내부점이 없고 경계점이 3개뿐인 삼각형이 그 최소입니다. 격자 위에 정삼각형을 그릴 수 없다는 것도 이 성질에서 따라 나옵니다.
없습니다. 꼭짓점이 (0,0,0), (1,0,0), (0,1,0), (1,1,n)인 사면체는 n이 얼마든 격자점이 꼭짓점 넷뿐인데 부피는 n/6으로 계속 커집니다. 점의 개수만으로는 부피가 정해지지 않는다는 반례라, 픽의 정리는 평면에서만 성립합니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 넓이와 자기교차 판정은 다각형 넓이 계산기가 쓰는 신발끈 공식·선분 교차 판정을 그대로 씁니다. 변끼리 가로지르면 픽의 정리가 성립하지 않으므로 계산을 물립니다.
- 검증은 무작위 볼록 격자 다각형 400벌에서, 픽의 식으로 낸 I·B를 격자를 실제로 훑어 센 값과 대조해 했습니다. 반대로 센 값을 식에 넣으면 신발끈 넓이가 나오는 것까지 확인했습니다.
- 무작위 직사각형 200벌에서 B = 2(w+h), I = (w−1)(h−1)이라는 닫힌 식과도 맞췄습니다. 한 변 1인 정사각형(A=1, B=4, I=0), 가장 작은 격자 삼각형(A=1/2, B=3, I=0), 밑변 4·높이 3인 직각삼각형(A=6, B=8, I=3)은 손으로 셈한 값으로 고정해 두었습니다.
- 넓이가 늘 1/2의 배수로 떨어지는 것도 무작위 입력으로 확인했습니다. I와 B가 정수이므로 식에서 바로 따라 나오는 성질입니다.
- 꼭짓점이 정수가 아니면 계산을 물립니다. 반칸에 놓인 꼭짓점은 이 정리의 전제를 깨는 가장 흔한 경우입니다.
- 격자를 실제로 훑어 세는 것은 격자 넓이 4만 칸까지만 합니다. 그보다 크면 식으로 낸 값만 보입니다. 그림은 한 변 40칸까지 그립니다.
- 구멍이 있는 다각형은 다루지 않습니다. 구멍마다 넓이가 1씩 더해지는 확장식이 따로 있습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.