피타고라스 삼중수 생성기

유클리드 공식이 있습니다. m > n > 0인 정수에서 a = m²−n², b = 2mn, c = m²+n²으로 두면 언제나 a²+b²=c²이 됩니다. m과 n이 서로소이고 홀짝이 다르면 원시 삼중수가 되며, 이 조건에서 모든 원시 삼중수가 (m, n) 한 쌍에 하나씩 빠짐없이 대응됩니다.

세 수의 최대공약수가 1인 삼중수입니다. 6-8-10처럼 서로소가 아닌 것은 3-4-5의 두 배일 뿐 새로운 것이 아닙니다. 모든 삼중수는 원시 삼중수의 배수로 적히므로, 원시만 알면 나머지는 곱하기만 하면 됩니다.

많습니다. 빗변이 100 이하인 원시 삼중수만 세어도 16개이며 5-12-13, 8-15-17, 7-24-25, 20-21-29, 9-40-41 등이 모두 서로 다른 가족입니다. 20-21-29처럼 두 직각변의 길이가 하나 차이 나는 것도 있습니다.

4로 나눈 나머지가 1인 소인수를 가진 수만 빗변이 될 수 있습니다. 5·13·17·25는 되지만 3·4·8은 되지 않습니다. 그런 소인수가 여러 개면 빗변이 같은 삼중수도 여러 개가 되어, 65는 16-63-65와 33-56-65 둘 다입니다.

a² = c²−b² = (c−b)(c+b)를 이용합니다. a²을 두 인수 d·e(d < e)로 가르고 둘의 홀짝이 같으면 b = (e−d)/2, c = (e+d)/2가 정수로 떨어져 답이 됩니다. 홀짝이 다르면 b와 c가 정수가 되지 않으므로 버립니다. 3 이상이면 어떤 수든 직각변은 될 수 있습니다.

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