심슨의 역설 계산기
집단별 성공률과 합친 성공률을 나란히 계산해 「집단마다 A가 나은데 합치면 B가 낫다」는 역설이 일어났는지 판정합니다. 합친 비율이 왜 가중평균인지, 어느 쪽이 어느 집단에 몰려 있는지까지 보여 줍니다.
한 줄에 「집단이름 A성공 A시행 B성공 B시행」. 8개 집단까지.
심슨의 역설이 일어났습니다
집단별 치료 A · 합치면 치료 B
모든 집단에서 치료 A가 높은데 합치면 치료 B가 높습니다. 계산 실수가 아니라 집단 크기가 가중치로 끼어들어 생긴 일입니다.
집단별로 보면
| 집단 | 치료 A | 치료 B | 우세 | 비중 (A / B) |
|---|---|---|---|---|
| 작은결석 | 81/8793.1% | 234/27086.7% | 치료 A | 25% / 77% |
| 큰결석 | 192/26373% | 55/8068.8% | 치료 A | 75% / 23% |
| 합계 | 273/350 78% | 289/350 82.6% | 치료 B | 100% / 100% |
합친 비율은 «가중»평균이다
93.1%×25% + 73%×75% = 78%
합친 비율은 집단별 비율을 «시행 수의 비중»으로 가중해 평균 낸 값과 정확히 같습니다. 단순 평균이 아니라는 것이 핵심입니다 — 그래서 비중이 한쪽으로 쏠리면 집단별 순서와 다른 결과가 나올 수 있습니다.
그래서 어느 쪽이 나은가
이 계산기는 거기까지 답하지 않습니다. 집단을 나눈 변수가 결과에 영향을 주면서 동시에 «어느 방법을 받을지»에도 영향을 주는 교란변수라면 집단별 값을 봐야 합니다. 신장결석 예에서 의사가 큰 결석 환자에게 수술(A)을 더 많이 권했다면 그런 경우입니다. 반대로 그 변수가 처치를 받은 «뒤에» 생긴 것이라면 나눠 보는 쪽이 오히려 틀립니다. 자료만으로는 정해지지 않고 인과 구조를 알아야 하며, 이 도구는 역설이 일어났다는 사실과 그 산술적 이유까지만 보입니다.
계산 방법
- 1집단마다 한 줄씩 「집단이름 A성공 A시행 B성공 B시행」을 넣습니다.
- 2두 방법의 이름을 바꿔 화면에 뜻이 통하게 합니다.
- 3집단별 우세와 합계 우세가 뒤집혔는지 확인합니다.
- 4비중 칸에서 어느 방법이 어느 집단에 몰려 있는지 보고, 뒤집힌 이유를 확인합니다.
자주 묻는 질문
집단마다 나눠 보면 A가 나은데 모두 합쳐 보면 B가 나은 현상입니다. 계산이 틀린 것이 아니라 합치는 순간 집단 크기가 가중치로 끼어들기 때문입니다. A가 성공률이 낮은 어려운 집단에 몰려 있고 B가 쉬운 집단에 몰려 있으면, 각 집단에서 A가 이기고도 합쳐서는 질 수 있습니다.
단순 평균이 아니라 시행 수로 가중한 평균이기 때문입니다. (a₁+a₂)/(n₁+n₂)는 각 집단의 비율에 그 집단의 시행 수 비중을 곱해 더한 것과 같습니다. 두 방법의 비중이 서로 다르면 같은 집단별 비율에서도 합계 순서가 달라질 수 있습니다.
자료만으로는 정해지지 않고 인과 구조를 알아야 합니다. 집단을 나눈 변수가 결과에 영향을 주면서 동시에 「어느 방법을 받을지」에도 영향을 주는 교란변수라면 집단별 값을 봐야 합니다. 반대로 그 변수가 처치를 받은 뒤에 생긴 것이라면 나눠 보는 쪽이 오히려 틀립니다. 이 계산기는 역설이 일어났다는 사실과 그 산술적 이유까지만 보여 줍니다.
아닙니다. 어떤 집단에서는 A가, 다른 집단에서는 B가 나은 경우는 그냥 결과가 섞인 것입니다. 역설은 「모든 집단에서 한쪽이 이겼는데 합치면 반대쪽이 이기는」 경우에만 씁니다. 이 계산기는 둘을 구분해 판정합니다.
두 방법이 집단에 고르게 배정되지 않은 관찰 자료에서 자주 나타납니다. 의사가 중증 환자에게 특정 치료를 더 많이 권했거나, 지원자가 경쟁률 높은 학과에 몰렸거나, 어떤 광고가 반응이 나쁜 시간대에 더 많이 노출된 경우가 그렇습니다. 무작위 배정 실험에서는 두 방법의 집단 비중이 비슷해지므로 훨씬 드뭅니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 기본 예제는 널리 인용되는 신장결석 치료 자료(Charig et al. 1986)의 수치입니다. 이 계산기가 검증한 것은 그 수치에 대한 산술과 역설 판정이며, 원 논문의 수치 자체를 이 환경에서 다시 확인하지는 못했습니다. 인용할 때는 원자료를 직접 확인하시기 바랍니다.
- 계산이 맞는지는 「합친 비율 = 집단별 비율의 가중평균」이 언제나 성립하는지로 확인합니다. 무작위 자료 5,000벌에서 이 항등식과 역설 판정의 일관성을 대조했습니다.
- 역설은 「모든 집단에서 한쪽이 이겼는데 합치면 반대쪽이 이기는」 경우만 가리킵니다. 집단마다 이긴 쪽이 갈리거나 합계가 무승부인 경우는 역설로 세지 않습니다.
- 집단이 하나뿐이면 역설이 일어날 수 없습니다. 합친 값이 곧 그 집단의 값이기 때문입니다.
- 이 도구는 어느 쪽이 실제로 나은지 판단하지 않습니다. 그 판단에는 집단을 나눈 변수가 교란변수인지 아니면 처치 이후에 생긴 변수인지를 아는 것이 필요하며, 그것은 자료 밖의 지식입니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.