구면삼각형 풀이 계산기

구 위의 세 점을 대원(구의 중심을 지나는 평면이 자른 원)의 호로 이은 삼각형입니다. 지구 위 세 지점을 최단경로로 이으면 구면삼각형이 되며, 항법에서 천정·천의 극·관측점을 잇는 «항법 삼각형»과 측지·천문 계산이 모두 이것입니다.

구면삼각형에서는 변도 각으로 재기 때문입니다. 변 a는 그 호를 구의 중심에서 본 각이고, 실제 길이는 반지름 R을 곱한 R·a(a는 라디안)입니다. 그래서 반지름을 바꾸면 길이와 넓이만 달라지고 각은 그대로입니다.

구면이 휘어 있기 때문이며, 넘은 만큼을 구면 과잉 E라 합니다. 그리고 그 값이 곧 넓이입니다 — 넓이 = R²·E(E는 라디안). 각만 알면 넓이가 나오는 이 성질을 지라르 정리라 하며 평면삼각형에는 없습니다. 세 변이 모두 90°인 옥탄트는 세 각이 모두 90°라 과잉이 90°이고 넓이가 구 전체의 정확히 8분의 1이 됩니다.

정해집니다. 평면에서는 세 각이 같은 닮은꼴이 무수히 많지만 구면에는 닮음이 없습니다. 각이 커질수록 삼각형도 커져야 하므로 세 각이 정해지면 크기까지 하나로 정해집니다. 이 계산기의 «세 각» 모드가 그것입니다.

작은 삼각형에서 무너지기 때문입니다. cos a = cos b·cos c + sin b·sin c·cos A는 변이 작으면 cos a가 1에 가까워지는데, 1 근처의 코사인은 배정밀도에서 유효숫자를 크게 잃습니다. 지구에서 한 변이 6m쯤이면 상대오차가 이미 10⁻⁵ 규모이고, 6cm쯤이면 cos이 1과 구별되지 않아 답이 아예 0으로 나옵니다. 그래서 이 계산기는 반각 탄젠트와 하버사인 꼴로만 계산합니다.

세 변만으로 구면 과잉을 곧장 구하는 공식입니다. tan(E/4) = √(tan(s/2)·tan((s−a)/2)·tan((s−b)/2)·tan((s−c)/2))이며 s는 (a+b+c)/2입니다. 과잉을 «각의 합 − 180°»로 구하면 작은 삼각형에서 180°에 가까운 값에서 180°를 빼는 셈이라 자릿수가 날아가지만, 이 식은 그렇지 않습니다. 계산기는 두 값을 모두 내고 어긋난 정도를 보여 줍니다.

변으로 풀 때는 평면과 같은 조건(한 변이 나머지 둘의 합보다 짧을 것)에 더해 세 변의 합이 360°보다 작아야 합니다. 각으로 풀 때는 세 각의 합이 180°보다 크고, 두 각의 합에서 나머지 각을 뺀 값이 180°보다 작아야 합니다. 이 가운데 하나라도 어기면 그런 구면삼각형은 존재하지 않습니다.

용도에 따라 다릅니다. 지구는 극 쪽이 눌린 타원체라 구로 보면 거리에서 0.5%쯤 어긋날 수 있습니다. 개념 확인이나 대략의 값에는 충분하지만, 측량처럼 정밀도가 필요한 일에는 타원체 위에서 푸는 측지선 계산(빈센티 등)을 써야 합니다.

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