스털링 근사(계승 어림) 계산기

n! ≈ √(2πn)·(n/e)ⁿ으로 계승을 어림하는 식입니다. 계승은 곱셈을 n번 해야 하지만 이 식은 지수와 제곱근 한 번이면 끝나고, n이 커질수록 오히려 정확해집니다. 확률·통계·통계역학에서 큰 계승을 다뤄야 할 때 거의 언제나 이 식을 씁니다.

상대오차가 대략 1/(12n)입니다. n=10이면 0.83%, n=100이면 0.083%, n=1000이면 0.0083%로 자릿수가 그대로 따라 내려갑니다. 놀라운 것은 n=1에서도 오차가 8%밖에 안 된다는 점입니다. 이 계산기는 실제로 잰 오차에 12n을 곱해 1에 다가가는지 보여 주므로, 어림이 맞는지를 눈으로 확인할 수 있습니다.

참값과 근사값의 비가 1 + 1/(12n) + 1/(288n²) − 139/(51840n³) − …로 전개됩니다. 여기서 항을 하나씩 더 붙이면 오차가 각각 n²·n³에 반비례로 떨어집니다. n=10에서 재어 보면 보정 없이 8.3×10⁻³, 한 개 붙여 3.2×10⁻⁵, 두 개 붙여 2.7×10⁻⁶, 세 개 붙여 1.5×10⁻⁸입니다.

171!부터는 배정밀도 실수로 담을 수 없기 때문입니다. 약 1.8×10³⁰⁸를 넘어 Infinity가 됩니다. 그런데 ln(171!)은 711밖에 안 됩니다. 그래서 계승이 들어가는 계산은 거의 언제나 로그 영역에서 합니다. 나눗셈이 뺄셈으로 바뀌므로 이항계수 C(n,k) 같은 것도 큰 수를 아예 만들지 않고 계산할 수 있습니다.

늘 작습니다. 보정항의 앞쪽이 모두 양수라 참값이 근사값보다 크고, 근사값은 아래에서 다가갑니다. 그래서 스털링 값을 그대로 쓰면 계승을 과소평가하게 되며, 정확도가 필요하면 보정항을 붙여야 합니다.

스털링 근사는 감마함수의 점근 전개에서 나옵니다. Γ(n+1) = n!이므로 실수 x에 대한 Γ(x)에도 같은 꼴의 근사가 성립하고, 실제 수치 라이브러리의 lnΓ 구현(란초스 근사 등)도 큰 인자에서는 이 전개로 넘어갑니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산이 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.