3D 원근 투영 행렬 계산기

카메라가 보는 절두체(가까운 면은 좁고 먼 면은 넓은 각뿔대 모양의 시야 영역)를 정규화 장치 좌표(NDC, x·y·z 모두 −1~1)라는 정육면체 공간으로 눌러 담는 4×4 행렬입니다. 이 변환 덕분에 화면에 그릴 때 멀리 있는 물체가 작게, 가까운 물체가 크게 보입니다.

동차좌표에 이 행렬을 곱한 뒤 w로 나누는 원근 나눗셈을 거치면, z=−근평면일 때와 z=−원평면일 때의 결과가 정확히 −1과 1이 되도록 행렬의 각 성분이 설계되어 있습니다. 직접 대입해 계산하면 확인할 수 있고, 이 계산기의 검증 과정이기도 합니다.

f_scale = 1/tan(시야각/2) 값이 커집니다. 시야각이 좁을수록 f_scale(확대율)이 커져 같은 물체가 화면에 더 크게(더 확대되어) 보입니다 — 망원 렌즈로 좁게 확대해서 보는 것과 같은 효과입니다.

이 행렬은 수직 시야각(fovY)을 기준으로 만들어지고, 수평 시야각은 종횡비만큼 자동으로 넓어집니다(tan(수평시야각/2) = 종횡비 × tan(수직시야각/2)). 그래서 x축의 확대율(f_scale/종횡비)만 종횡비로 나눠 수평·수직 방향의 화면 비율을 맞춥니다.

그래픽스 파이프라인에서 회전과 투영은 서로 다른 단계입니다. quaternion-euler는 물체의 회전을 표현하는 방식을 다루고, 이 계산기는 카메라가 본 3D 장면을 화면에 투영하는 마지막 단계의 행렬을 다룹니다.