쿼터니언 오일러각 변환기

각 축의 회전을 쿼터니언으로 만들어 순서대로 곱합니다. ZYX라면 q = q_Z(요) ⊗ q_Y(피치) ⊗ q_X(롤)입니다. 한 축을 θ만큼 도는 쿼터니언은 w = cos(θ/2), 그 축 성분 = sin(θ/2)이고 나머지는 0입니다. 반대로 쿼터니언에서 오일러각을 뽑을 때는 회전행렬을 거쳐 역삼각함수로 풉니다.

순서가 다르면 다른 자세가 되기 때문입니다. 3차원 회전은 교환법칙이 성립하지 않아, 같은 각도라도 ZYX로 읽을 때와 XYZ로 읽을 때 결과가 다릅니다. 그래서 "요 30도, 피치 20도, 롤 10도"라는 말만으로는 자세가 정해지지 않습니다. 다른 소프트웨어의 값을 옮길 때는 그쪽이 어떤 순서를 쓰는지 반드시 확인해야 합니다.

두 번째 각이 ±90°가 되어 첫 축과 마지막 축이 같은 방향을 가리키면서, 두 각을 따로 구할 수 없게 되는 현상입니다. 이때는 두 각의 합(또는 차)만 정해지고 무한히 많은 조합이 같은 자세를 만듭니다. 오일러각이라는 표현이 값을 잃는 것이지 회전 자체에는 문제가 없으며, 쿼터니언과 회전행렬에는 짐벌락이 없습니다.

짐벌락이 없고, 값이 네 개뿐이며, 곱셈으로 회전을 이어 붙이기 쉽기 때문입니다. 오일러각으로 자세를 들고 다니면 피치 ±90° 부근에서 각도가 튀어 제어가 불안정해지고, 회전행렬은 값이 아홉 개라 누적 오차로 직교성이 깨집니다. 드론과 게임 엔진이 내부적으로 쿼터니언을 쓰고 사람에게 보여 줄 때만 오일러각으로 바꾸는 이유입니다.

같은 회전입니다. 쿼터니언은 회전을 두 겹으로 덮기 때문에 네 성분의 부호를 통째로 뒤집어도 회전행렬이 완전히 같습니다. 그래서 두 쿼터니언을 비교할 때는 부호를 맞춘 뒤에 봐야 하고, 구면 보간(slerp)에서도 내적이 음수면 한쪽을 뒤집고 시작해야 먼 길로 돌아가지 않습니다.

어떤 축을 중심으로 몇 도 돌렸는지로 회전을 나타내는 방식입니다. 오일러 회전정리에 따라 어떤 3차원 회전도 축 하나와 각도 하나로 표현할 수 있습니다. 쿼터니언에서 바로 뽑을 수 있는데, 회전각은 2·acos(w)이고 회전축은 (x, y, z)를 그 크기로 나눈 단위벡터입니다. 회전이 0에 가까우면 축이 정해지지 않습니다.