웰퍼드 온라인 평균·분산 계산기

값을 하나씩 받을 때마다 델타(delta = x - 이전 평균)로 평균을 갱신하고, 갱신된 평균과의 새 델타(delta2)를 곱해 M2(제곱합 편차)를 누적합니다. 분산은 M2를 개수(모집단) 또는 개수-1(표본)로 나눠 구합니다.

전체 데이터를 저장하지 않고도 값이 들어올 때마다 평균·분산을 즉시 갱신할 수 있습니다. 데이터가 스트림으로 계속 들어오거나 메모리에 다 담기 어려울 만큼 많을 때 특히 유용합니다.

평균을 먼저 구하고 다시 훑어 Σ(x-평균)²을 계산하는 두 번 훑는 방식도 사실 웰퍼드만큼 수치적으로 안정적입니다. 차이는 스트리밍 여부입니다 — 두 번 훑는 방식은 데이터를 전부 저장해 두 번 봐야 하지만, 웰퍼드는 한 번만 보면 됩니다.

통계 교과서 공식 E[X²]-E[X]²을 그대로 코드로 옮긴 "단순합·제곱합" 한 번 훑기 방식과 비교하면 차이가 뚜렷합니다. 이 방식은 큰 값 근처에 작은 분산이 섞이면 두 거대한 수를 빼는 과정에서 유효자릿수가 크게 날아갑니다(catastrophic cancellation). 이 계산기는 세 방식을 나란히 계산해 웰퍼드·두 번 훑는 방식은 거의 같고, 단순합·제곱합 공식만 크게 벗어나는 것을 보여줍니다.