친화수·사교수 계산기

서로의 진약수 합이 되는 두 수입니다. 진약수는 자기 자신을 뺀 약수를 말합니다. 220의 진약수(1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55, 110)를 모두 더하면 284이고, 284의 진약수(1, 2, 4, 71, 142)를 더하면 다시 220이 됩니다. 피타고라스 학파 때부터 알려진 가장 작은 쌍입니다.

셋 이상이 고리를 이루는 경우입니다. 12496에서 시작하면 14288 → 15472 → 14536 → 14264를 거쳐 다시 12496으로 돌아오는 다섯 개짜리 고리가 되고, 14316은 스물여덟 개짜리 고리를 이룹니다. 친화수는 고리 길이 2인 사교수라고 볼 수도 있습니다.

완전수는 고리 길이가 1인 특별한 경우입니다. s(n) = n이면 자기 자신으로 돌아오는 셈이기 때문입니다. 그래서 완전수·친화수·사교수를 따로 외울 필요 없이 «알리쿼트 수열이 몇 개짜리 고리에 빠지는가» 하나로 설명됩니다.

n, s(n), s(s(n)), …처럼 진약수의 합을 되풀이해 얻는 수열입니다. 대부분은 1에 닿아 멈추고(소수에 닿으면 곧바로 1이 됩니다), 일부는 고리에 빠집니다. 셋째 가능성인 «끝없이 커지는 경우»가 실제로 있는지는 아직 모릅니다.

알리쿼트 수열의 결말이 아직 밝혀지지 않은 가장 작은 수이기 때문입니다. 2,000자리를 넘도록 계산했는데도 1에 닿지도, 고리에 빠지지도 않았습니다. 276, 552, 564, 660, 966을 «레머의 다섯»이라 부릅니다. 그래서 이 계산기도 «판정 못 함»이라는 답을 낼 수 있어야 합니다.

s(n) < n이면 부족수, s(n) > n이면 과잉수, 같으면 완전수입니다. 소수는 진약수가 1뿐이라 언제나 부족수이고, 12는 1+2+3+4+6 = 16으로 과잉수입니다. 이 계산기는 넣은 수의 분류를 함께 냅니다.

√n까지만 나눠 보면 됩니다. d가 약수면 n/d도 약수이므로 짝으로 더합니다. 다만 완전제곱수에서 √n을 두 번 더하지 않도록 조심해야 하는데, 이것이 가장 흔한 실수입니다. 이 계산기는 1부터 n−1까지 모두 나눠 보는 느린 방식과 20,000까지 대조해 두었습니다.

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