자기동형수 계산기

제곱해도 마지막 자릿수들이 자기 자신과 똑같이 남는 수입니다. 25는 두 자리인데 25²=625의 마지막 두 자리가 25로 똑같고, 76²=5776의 마지막 두 자리도 76으로 똑같아 둘 다 자기동형수입니다.

무한히 있습니다. 0과 1을 뺀 자기동형수는 5로 끝나는 갈래(5, 25, 625, 90625, …)와 6으로 끝나는 갈래(6, 76, 376, 9376, …)로 나뉘는데, 각 갈래는 자릿수를 하나씩 늘리면 유일하게 다음 항으로 이어져 끝없이 계속됩니다.

n² ≡ n (mod 10^d)를 만족하려면 n(n−1)이 10^d의 배수여야 하는데, n과 n−1은 서로소라 이 둘로 10^d의 소인수(2와 5)를 나눠 가져야 합니다. 그러면 n은 2^d의 배수이면서 5^d로 나누면 1 나머지이거나, 그 반대인 경우만 남는데 이 두 경우가 각각 6으로 끝나는 갈래와 5로 끝나는 갈래입니다.

열두 개입니다: 0, 1, 5, 6, 25, 76, 376, 625, 9376, 90625, 109376, 890625. 정의(제곱해서 마지막 자릿수들이 같은지)를 그대로 브루트포스로 세어 확인한 값입니다.