보 고유진동수 계산기

지지조건과 모드 번호 n에 따라서만 정해지는 무차원 수입니다. 보의 재질이나 굵기와 무관하게, 같은 지지조건·같은 모드면 (βnL) 값이 똑같습니다. 이 값이 지지조건마다 다른 초월방정식의 근으로 정의됩니다.

단순지지(양끝 핀)는 sin(βL)=0이라 βnL=nπ로 정확히 풀립니다. 외팔보는 cos(βL)cosh(βL)=−1, 양단고정은 cos(βL)cosh(βL)=1, 고정-단순은 tan(βL)=tanh(βL)이며 이 셋은 닫힌 형태 해가 없어 수치로 풀어야 합니다.

식의 좌변에서 우변을 뺀 함수를 촘촘히 훑어 부호가 바뀌는 구간을 찾고, 그 구간 안에서 이분법으로 근을 좁혀 갑니다. tan(βL)=tanh(βL)은 tan이 π/2의 홀수배마다 발산해 그대로 훑으면 발산을 근으로 착각하기 쉬운데, 양변에 cos(βL)cosh(βL)을 곱해 발산이 없는 매끈한 형태로 바꾼 뒤 훑습니다.

(βnL)은 지지조건이 같으면 상수라서, βn 자체는 L에 반비례합니다(곱 βnL이 일정해야 하므로). 진동수 식에 (βn)²이 들어가니 여기서 1/L²이 나오고, 식 안에 또 1/L²(=1/L⁴의 절반 거듭제곱 부분)이 곱해져 있어 둘을 합치면 진동수는 1/L²로 줄어듭니다. 그래서 길이를 두 배로 하면 진동수는 4분의 1이 됩니다.

같은 치수·재질이라도 (βnL) 값 자체가 지지조건마다 달라 진동수도 달라집니다. 일반적으로 양단고정이 가장 뻣뻣해(=진동수가 높아) 보이고, 외팔보가 가장 유연한(=진동수가 낮은) 경향을 보입니다 — 지지가 많이 구속될수록 더 높은 진동수가 나오는 경향입니다.

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