1차원 열전도 유한차분 계산기

전진식의 가운데 가중치가 음수가 되기 때문입니다. Tᵢ^(n+1) = Fo·T_{i−1} + (1 − 2Fo)·Tᵢ + Fo·T_{i+1}로 정리하면 세 점의 가중평균인데, Fo > 0.5면 1 − 2Fo < 0이 되어 «자기 온도가 높을수록 다음 순간 더 차가워진다»는 뜻이 됩니다. 폰 노이만 해석으로 보면 한 칸마다 부호가 뒤집히는 성분의 증폭률이 1 − 4Fo라 |1 − 4Fo| > 1인 순간 매 걸음 커지고, 반올림 오차만 있어도 몇백 걸음이면 화면을 채웁니다.

Δt를 함께 줄여야만 그렇습니다. Fo가 Δx²에 반비례하므로 Δx를 반으로 줄이면 Fo가 네 배로 뛰어 오히려 발산합니다. Δx를 반으로 줄이려면 Δt는 1/4로 줄여야 하고, 그러면 총 계산량이 8배가 됩니다. 외재적 방법이 간단한 대신 치르는 값이며, 이것이 부담스러우면 매 걸음 연립방정식을 푸는 내재적 방법(크랭크–니콜슨 등)을 씁니다.

벽 바깥에 거울상 가상점을 두어 T₀^(n+1) = T₀ + 2Fo(T₁ − T₀)로 계산합니다. ∂T/∂x = 0이라는 조건이 T₋₁ = T₁을 뜻하므로 가운데 차분에 넣으면 계수 2가 나옵니다. 이 2를 빠뜨리는 것이 흔한 실수인데, 그러면 단열 벽이 열을 조금씩 먹어 보존되어야 할 총 열량이 줄어듭니다.

두 가지 검산이 있습니다. 첫째, 양 끝을 다른 온도로 고정하고 오래 두면 온도가 두 끝을 잇는 직선이 되어야 합니다. 둘째, 양 끝이 모두 단열이면 총 열량이 정확히 보존되어야 합니다. 이 계산기는 두 값을 모두 표시하며, 내부 테스트에서는 양 끝을 0으로 고정한 경우의 해석해와도 대조합니다.

시간에 따른 변화가 멈추면 ∂²T/∂x² = 0이 되고, 두 번 미분해서 0인 함수는 직선뿐이기 때문입니다. 다만 이것은 1차원 평판이나 막대에서만 그렇습니다. 원통 벽에서는 로그 꼴, 구면 껍질에서는 1/r 꼴이 됩니다.

열전도율을 부피당 열용량으로 나눈 값 α = k/(ρc)로, 「얼마나 빨리 퍼지는가」를 나타냅니다. 단위는 m²/s이고 이 계산기에서는 읽기 쉽게 mm²/s로 표시합니다. 탄소강 약 11.6 mm²/s, 유리 약 0.75 mm²/s, 물 약 0.14 mm²/s입니다. 열전도율과 순위가 다를 수 있는데, 공기는 물보다 열을 훨씬 못 옮기지만 데울 것이 거의 없어 100배 넘게 빨리 퍼집니다.

확산의 성질입니다. 열이 시간 t 동안 퍼지는 거리가 대략 √(αt)이므로 거꾸로 거리 L을 지나는 데 걸리는 시간이 L²/α가 됩니다. 막대를 두 배 길게 하면 네 배가 걸리고, 고기를 두 배 두껍게 썰면 익는 시간이 네 배가 되는 것도 같은 이야기입니다.

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