보데 선도 점근선 계산기

극점 하나의 꺾은주파수 ω = p에서 1/(1 + jω/p) = 1/(1 + j)가 되어 크기가 1/√2이기 때문입니다. 20log₁₀(1/√2) = −3.0103 dB이고 위상은 −atan(1) = −45°입니다. 점근선은 그 자리에서 각지게 꺾이지만 실제 곡선은 둥글게 지나가며, 점근선을 그은 뒤 꺾이는 자리를 3 dB만 깎으면 실제 곡선과 거의 겹칩니다.

로그 축에 dB로 그리면 곱셈이 덧셈이 되기 때문입니다. 전달함수가 여러 항의 곱이므로 항마다 그린 직선을 그냥 더하면 전체 모양이 나오고, 규칙도 «극점은 −20 dB/dec, 영점은 +20 dB/dec, 적분기는 어디서나 −20 dB/dec» 세 가지뿐입니다. 계산기 없이 손으로 개형을 잡을 수 있다는 것이 이 방법의 값어치입니다.

되먹임을 걸었을 때 발진까지 얼마나 여유가 있는지를 나타냅니다. 위상여유는 이득이 0 dB가 되는 주파수에서 위상이 −180°까지 남은 여유이고, 이득여유는 위상이 −180°가 되는 주파수에서 이득이 0 dB까지 남은 여유입니다. 되먹임 루프는 이득이 1이면서 위상이 −180°이면 발진하므로 그 두 조건을 떨어뜨려 두는 것이 설계의 목표이며, 보통 위상여유 45°~60°, 이득여유 6 dB 이상을 잡습니다.

이득 곡선이 통째로 위로 올라가고 위상 곡선은 그대로입니다. 그래서 이득 교차 주파수가 오른쪽으로 밀려 위상여유가 줄고, 이득여유는 K가 커진 만큼 그대로 줄어듭니다. K를 두 배로 하면 이득여유가 정확히 20log₁₀2 = 6.02 dB 줄어듭니다.

2차 극점 쌍은 ω = ωₙ에서 이득이 1/(2ζ)가 되기 때문입니다. ζ가 0.1이면 5배(약 14 dB)까지 솟습니다. 봉우리의 꼭대기는 정확히 ωₙ이 아니라 ωᵣ = ωₙ√(1−2ζ²)이고 높이는 Mᵣ = 1/(2ζ√(1−ζ²))이며, ζ가 1/√2 ≈ 0.707을 넘으면 봉우리 자체가 생기지 않습니다.

원점에 있는 극점(적분기 1/s)의 개수입니다. 0형은 저주파에서 이득이 평평하고, 1형은 −20 dB/dec, 2형은 −40 dB/dec로 저주파에서 무한대로 올라갑니다. 형이 높을수록 정상상태 오차가 작아지지만 위상이 그만큼 미리 떨어져 있어 안정하게 만들기가 어려워집니다.

이 계산기는 각 항이 1로 시작하는 시상수 형식 K·Π(1+s/z)/[sᴺ·Π(1+s/p)]을 씁니다. (s+p) 꼴로 적으면 각 항에서 p가 상수로 빠져나가므로 K 값이 달라집니다. 예를 들어 1/(s(s+1)(s+5))는 이 계산기에서 K = 0.2, 극점 1과 5로 넣어야 같은 시스템이 됩니다.

우반평면 극점·영점(비최소위상)과 시간지연은 다루지 않습니다. 그런 계는 이득 모양이 같아도 위상만 더 떨어져, «여유가 양수면 안정»이라는 판정이 성립하지 않고 나이퀴스트 선도로 감는 횟수를 따져야 합니다. 실수 극점·영점은 각각 3개까지, 2차 극점 쌍은 하나까지 다룹니다.

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