뷔퐁의 바늘 계산기
평행선 위에 바늘을 던질 때 선에 걸칠 확률 2L/(πd)를 구하고, 거꾸로 던진 횟수와 걸친 횟수로 π를 추정합니다. 실제로 바늘을 던져 그림으로 보이고, π를 소수 셋째 자리까지 맞히려면 몇 번을 던져야 하는지도 계산합니다.
P = 2L / (π·d)
바늘이 선에 걸칠 확률
63.66%
100번 던지면 평균 63.7번 걸칩니다. L/d = 1이고, 확률은 이 비율에만 달렸습니다 — 길이와 간격을 함께 두 배로 늘려도 확률은 그대로입니다.
바늘 60개를 실제로 던져 그린 것입니다. 파란 바늘이 선에 걸친 것이고 회색은 걸치지 않은 것입니다. 씨앗값을 바꾸면 다른 던지기가 나옵니다.
던질수록 어떻게 되는가
| 던진 횟수 | 걸침 | π 추정 | 표준오차 |
|---|---|---|---|
| 10 | 7 | 2.8571 | ±0.7506 |
| 100 | 67 | 2.9851 | ±0.2374 |
| 1,000 | 633 | 3.1596 | ±0.0751 |
| 10,000 | 6,245 | 3.2026 | ±0.0237 |
던지는 횟수를 100배로 늘려야 표준오차가 10분의 1이 됩니다. 그래서 자릿수 하나를 더 맞히는 데 100배가 듭니다. 추정값이 매번 좋아지지는 않는다는 것도 눈에 띌 텐데, 우연히 뒤로 가는 구간이 실제로 있습니다.
π를 어디까지 맞히려면
| 목표 오차 | 표준오차 기준 | 95% 신뢰 |
|---|---|---|
| ±0.1 | 564번 | 2,165번 |
| ±0.01 | 56,336번 | 216,410번 |
| ±0.001 | 5,633,534번 | 21,640,989번 |
소수 첫째 자리까지는 수백 번이면 되지만, 셋째 자리까지 믿으려면 21,640,989번을 던져야 합니다. 표준오차가 √N에 반비례하기 때문입니다. π를 실제로 구할 때 이 방법을 쓰지 않는 이유이고, 몬테카를로 방법 전반의 성격이기도 합니다.
계산 방법
- 1바늘 길이 L과 선 간격 d를 넣습니다. L은 d 이하여야 합니다.
- 2걸칠 확률 2L/(πd)가 바로 나옵니다.
- 3그림에서 파란 바늘(걸친 것)과 회색 바늘(걸치지 않은 것)을 셉니다.
- 4던질 횟수와 씨앗값을 정해 실제로 던져 봅니다.
- 5「던질수록 어떻게 되는가」 표에서 표준오차가 √N에 반비례해 줄어드는 것을 확인합니다.
자주 묻는 질문
간격이 d인 평행선 위에 길이 L인 바늘을 아무렇게나 던질 때 선에 걸칠 확률이 2L/(πd)라는 문제입니다. 1777년에 뷔퐁이 냈고, 확률로 기하학 상수를 구한 최초의 예입니다. 확률 안에 π가 들어 있으므로 거꾸로 던진 횟수와 걸친 횟수로 π를 추정할 수 있습니다.
π ≈ 2·L·N / (d·H)로 구합니다. N은 던진 횟수, H는 걸친 횟수입니다. 확률 P = 2L/(πd)에서 P를 걸친 비율 H/N으로 바꿔 넣고 π에 대해 푼 것입니다. L = d이면 식이 2N/H로 간단해집니다.
바늘 중심에서 가장 가까운 선까지의 거리 x와 바늘이 선과 이루는 각 θ가 모두 균등분포이기 때문입니다. 걸치는 조건이 x ≤ (L/2)·sin θ이므로 그 영역의 넓이를 전체로 나누면 (2/(πd))∫₀^(π/2) L·sin θ dθ = 2L/(πd)가 됩니다. 적분 과정에서 π가 들어오는 것이 요점입니다.
식이 달라집니다. 2L/(πd)는 L ≤ d일 때만 맞습니다. 바늘이 더 길면 한 번에 두 줄 이상에 걸칠 수 있어 계산이 달라지고, 식에 arcsec과 제곱근이 붙습니다. 무엇보다 그대로 계산하면 확률이 1을 넘어 버립니다 — L = 2d면 4/π ≈ 1.27입니다. 확률이 1을 넘는 순간 식이 틀렸다는 뜻이며, 이 계산기는 L ≤ d로 제한합니다.
L = d일 때 95% 신뢰로 ±0.001 안에 들려면 약 2,200만 번을 던져야 합니다. 표준오차가 π·√((1−P)/(N·P))로 던진 횟수의 제곱근에 반비례하기 때문에, 자릿수 하나를 더 맞히려면 던지는 횟수를 100배로 늘려야 합니다. 몬테카를로 방법이 느리다고 하는 것이 이 뜻입니다.
확률은 L/d 비율에만 달렸습니다. 길이와 간격을 함께 두 배로 늘려도 확률은 그대로입니다. 다만 바늘이 짧을수록 잘 걸리지 않아 추정의 표준오차가 커지므로, π를 추정하는 목적이라면 L = d로 두는 것이 가장 낫습니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 검증은 걸친 비율이 정확히 이론 확률일 때 π 추정값이 정확히 π가 되는지, 여러 L/d 조합에서 대조해 했습니다. 실제 던지기에서도 걸린 비율이 이론 확률의 5σ 안에 드는지 여러 씨앗값으로 확인했습니다.
- 그림에 그리는 바늘은 확률식과 따로 실제 좌표를 놓고 선을 넘었는지 직접 따집니다. 바늘 길이가 정말 L인지, 걸침 표시가 좌표와 맞는지, 걸린 비율이 2/π에 수렴하는지를 테스트로 고정해 두어 그림과 수식이 서로 검산이 되게 했습니다.
- 표준오차는 π·√((1−P)/(N·P))입니다. 걸친 횟수가 이항분포라는 점에서 델타법으로 유도한 값이며, 던진 횟수를 100배로 늘리면 정확히 10분의 1이 되는 것을 테스트로 고정했습니다.
- 「π를 소수 셋째 자리까지 맞히려면 수십만 번」이라는 흔한 어림은 자릿수가 두 개쯤 모자랍니다. L = d일 때 95% 신뢰로 ±0.001에 들려면 약 2,200만 번이고, 표준오차 자체를 0.001로 맞추는 느슨한 기준으로도 약 570만 번입니다. 이 계산기는 두 기준을 모두 표로 냅니다.
- 씨앗값을 입력으로 노출해 같은 던지기를 다시 뽑을 수 있게 했습니다. 새로고침할 때마다 답이 달라지면 계산기로 쓸 수 없기 때문입니다.
- L > d인 긴 바늘은 다루지 않습니다. 던지기는 20만 번까지 할 수 있습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 1일 · 결과는 참고용 추정치입니다.