몬티홀 문제 계산기

문 3개짜리 고전 문제에서 바꾸면 2/3, 안 바꾸면 1/3입니다. 처음 고른 문이 맞을 확률 1/3은 사회자가 문을 열어도 변하지 않고, 내가 틀렸을 확률 2/3이 열리지 않은 나머지 한 문에 통째로 몰리기 때문입니다.

아닙니다. 사회자가 무작위로 연 것이 아니라 「반드시 꽝인 문」을 골라 열었기 때문입니다. 그 선택 자체가 정보를 흘립니다. 만약 사회자가 답을 모른 채 아무 문이나 열었는데 우연히 꽝이었다면 그때는 정말 반반이 되며, 이 계산기가 그 값도 함께 보여 줍니다.

사회자가 98개를 열어 준다면 바꿔서 99/100, 안 바꿔서 1/100입니다. 처음에 100개 중 하나를 찍어 맞췄을 리 없다는 감각이 분명하므로, 문이 많을수록 직관과 계산이 어긋나지 않습니다. 문 3개에서 헷갈리는 이유는 확률 차이가 작아 보여서일 뿐 원리는 같습니다.

문 n개에서 꽝 k개를 연다면 안 바꿀 때 1/n, 바꿀 때 (n−1)/(n(n−k−1))입니다. 내가 틀렸을 확률 (n−1)/n을 열리지 않은 나머지 (n−k−1)개의 문이 나눠 갖는 셈입니다. 바꿀 문이 여럿이면 두 확률을 더해도 1이 되지 않는데, 「바꿨는데 하필 다른 문이 정답」인 몫이 빠지기 때문입니다.

사회자가 답을 알고, 반드시 문을 열며, 여는 문은 언제나 꽝이고 내 문이 아니라는 네 가지입니다. 하나만 어긋나도 답이 달라집니다. 예를 들어 내가 정답을 골랐을 때만 문을 열어 바꾸도록 유도하는 사회자라면 바꾸는 것이 오히려 손해입니다.

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