중심극한정리 시뮬레이터

모집단이 어떤 모양이든 평균과 유한한 분산만 있으면 표본평균의 분포가 정규분포 N(μ, σ²/n)으로 간다는 정리입니다. 흩어짐이 σ/√n으로 줄어드는 것과 모양이 정규분포로 가는 것은 다른 이야기인데, 앞은 n이 몇이든 성립하고 뒤는 n이 충분히 클 때만 성립합니다.

모집단이 얼마나 치우쳤느냐에 달려 있습니다. 표본평균의 왜도가 모집단 왜도 / √n이라 √n으로만 줄어들기 때문입니다. 지수분포는 왜도가 2라 n=30에서도 0.365가 남고, 로그정규(σ=1)는 왜도가 6.18이라 n=30에서 1.13이나 남습니다. 반면 균등분포는 왜도가 0이라 n=5면 충분합니다.

독립인 n개의 합의 분산이 nσ²이고, 평균은 그것을 n으로 나눈 것이라 분산이 σ²/n이 되기 때문입니다. 표준편차는 그 제곱근인 σ/√n입니다. 이 관계는 정규분포로 가는 것과 무관하게 n이 몇이든 성립합니다.

평균이 존재하지 않기 때문입니다. 적분이 발산해서 μ 자체가 없으니 정리의 전제가 무너집니다. 그래서 표본평균의 분포가 n을 아무리 키워도 원래 분포 그대로이며, 100개를 평균 내도 1개를 뽑은 것과 똑같이 흩어져 있습니다.

갑니다. 값이 0과 1뿐인데도 여러 개를 평균 내면 정규분포에 가까워집니다. 다만 p가 0이나 1에 가까울수록 왜도가 커져 더 큰 n이 필요합니다 — 여론조사에서 지지율이 아주 낮은 후보의 오차범위를 정규근사로 잡으면 안 되는 이유입니다.

되지 않습니다. 「간다」는 것이지 「된다」는 것이 아닙니다. 특히 꼬리 쪽은 수렴이 느려서 가운데는 잘 맞는데 극단값의 확률은 한참 어긋날 수 있습니다. p값이 0.001처럼 아주 작을 때 정규근사를 믿으면 안 되는 이유입니다.

난수 씨앗을 고정했기 때문에 같은 입력이면 언제나 같은 그림이 나옵니다. 씨앗을 바꾸면 다른 표본이 나오며, 반복 횟수를 늘릴수록 이론값에 가까워집니다.

전송되지 않습니다. 시뮬레이션은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.