체비쇼프 합 부등식 계산기

두 수열이 같은 방향으로 움직이면(유사정렬) 곱의 평균이 평균의 곱보다 크거나 같고, 반대 방향으로 움직이면(역정렬) 부등호가 뒤집힌다는 정리입니다. 식으로는 (1/n)Σaᵢbᵢ ≥ (1/n Σaᵢ)(1/n Σbᵢ)(유사정렬일 때)입니다.

재배열 부등식은 두 수열을 "어떻게 짝지어야" 합이 최대·최소가 되는지를 다룹니다. 이 부등식은 짝짓기를 바꾸지 않고 지금 주어진 순서 그대로 곱의 평균과 평균의 곱을 비교합니다. 다만 증명은 같은 재료(짝을 맞바꿔도 합이 줄지 않는다는 논리)에서 나옵니다.

모든 쌍 i, j에 대해 (aᵢ−aⱼ)(bᵢ−bⱼ)의 부호를 봅니다. 항상 0 이상이면 유사정렬, 항상 0 이하면 역정렬입니다. 부호가 쌍마다 다르면(어떤 쌍은 같이 움직이고 어떤 쌍은 반대로 움직이면) 정리가 적용되지 않아 방향을 보장할 수 없습니다.

nΣaᵢbᵢ − (Σaᵢ)(Σbᵢ) = (1/2)ΣᵢΣⱼ(aᵢ−aⱼ)(bᵢ−bⱼ) 라는 항등식이 있습니다. 유사정렬이면 우변의 모든 항이 0 이상이라 좌변도 0 이상이 되고, 이것이 곧 체비쇼프 합 부등식입니다. 역정렬이면 모든 항이 0 이하라 부등호가 뒤집힙니다.

한쪽이 상수(모든 값이 같음)면 (aᵢ−aⱼ)가 항상 0이라 유사정렬 조건과 역정렬 조건을 동시에 만족합니다. 이때는 곱의 평균과 평균의 곱이 정확히 같아지는 자명한 등호 경우입니다.

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