옌센 부등식 계산기
볼록·오목함수를 고르고 값과 가중치를 넣으면 φ(가중평균) 과 가중평균(φ) 을 함께 계산해 옌센 부등식이 어느 방향으로 성립하는지 보여줍니다.
φ(x) = x²
값 목록 x
정의역: 모든 실수
가중치 w (선택)
값 개수와 다르면 자동으로 균등 가중치를 씁니다. 합이 1이 아니어도 자동 정규화됩니다.
φ(가중평균) ≤ 가중평균(φ) — 볼록함수 방향
6.25 ≤ 7.5
가중평균 x = 2.5 · φ(x) = x²
계산 방법
- 1볼록함수(x², eˣ, −ln x, 1/x)나 오목함수(√x)를 고릅니다.
- 2값 목록과 각 값의 가중치를 넣습니다. 가중치를 비워두면 균등 가중치로 계산합니다.
- 3「평균 먼저, 함수 나중」과 「함수 먼저, 평균 나중」 두 값을 비교합니다.
- 4함수가 볼록이면 앞쪽이 항상 작거나 같고, 오목이면 항상 크거나 같습니다.
자주 묻는 질문
볼록함수 φ와 가중치 wᵢ(합이 1)에 대해 φ(Σwᵢxᵢ) ≤ Σwᵢφ(xᵢ)가 항상 성립한다는 부등식입니다. 말로 풀면 「평균을 먼저 내고 함수를 적용한 값」이 「함수를 먼저 적용하고 평균을 낸 값」보다 크지 않다는 뜻입니다. 오목함수라면 부등호 방향이 반대가 됩니다.
볼록함수의 정의 자체가 두 점에서 φ(w₁x₁+w₂x₂) ≤ w₁φ(x₁)+w₂φ(x₂)(w₁+w₂=1)이기 때문입니다. 옌센 부등식은 이 두 점 정의를 임의 개수의 점과 가중치로 일반화한 것입니다.
분산(Var)입니다. Σwᵢxᵢ² − (Σwᵢxᵢ)²는 통계에서 분산의 정의 그대로이고, 분산은 제곱의 평균이라 항상 0 이상입니다. 그래서 x²에서는 다른 증명 없이도 이 갭이 항상 0 이상이라는 것을 바로 알 수 있습니다.
−ln(x)는 볼록함수라 −ln(Σwᵢxᵢ) ≤ Σwᵢ(−ln xᵢ)가 성립합니다. 양변에 −1을 곱하고 지수를 취하면 Σwᵢxᵢ ≥ Πxᵢ^wᵢ가 되는데, 가중치가 모두 1/n이면 이것이 바로 산술평균 ≥ 기하평균(edu/pythagorean-means)입니다. 즉 AM-GM은 옌센 부등식의 특수한 경우입니다.
값과 같은 개수만큼 넣으면 됩니다. 음수만 아니면 합이 1이 아니어도 자동으로 정규화해 계산하므로, "1, 1, 1"과 "2, 2, 2"는 같은 결과를 냅니다. 비워두면 모두 같은 가중치로 계산합니다.
전송되지 않습니다. 계산은 모두 브라우저 안에서 이루어지고 넣은 값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- −ln(x)와 1/x는 x>0에서만, √x는 x≥0에서만 정의됩니다. 정의역을 벗어난 값을 넣으면 계산을 막습니다.
- 모든 값이 같으면 갭이 정확히 0이 되어 등호가 성립합니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 9일 · 결과는 참고용 추정치입니다.