두 원의 교차 계산기

두 중심 사이 거리 d를 반지름의 합(r1+r2)과 차(|r1−r2|)에 견줍니다. d가 합보다 크면 서로 떨어져 있고, 합과 같으면 바깥에서 한 점에 닿고, 차와 합 사이면 두 점에서 만나고, 차와 같으면 안에서 한 점에 닿고, 차보다 작으면 한 원이 다른 원 안에 통째로 들어가 닿지도 않습니다.

두 원의 방정식 x²+y²=r1², (x−d)²+y²=r2²을 서로 빼면 교점이 놓인 직선(근축) a=(d²+r1²−r2²)/(2d)이 나옵니다. 이 직선에서 원 1의 중심까지 수직 거리는 피타고라스로 h=√(r1²−a²)이고, 두 중심을 잇는 방향과 그에 수직인 방향으로 a·h만큼 이동하면 교점이 됩니다.

동심원은 중심은 같고 반지름이 달라 절대 닿지 않는 경우이고, 완전히 겹침은 중심과 반지름이 모두 같아 두 원이 같은 원이 되는 경우입니다. 완전히 겹치면 모든 점을 공유해 교점을 「몇 개」로 셀 수 없습니다.

원의 정의 자체가 검산 방법입니다. 교점에서 원 1의 중심까지 거리는 항상 r1과 같아야 하고, 원 2의 중심까지 거리는 항상 r2와 같아야 합니다. 이 계산기는 그 거리를 함께 보여 줘 반지름과 맞는지 바로 대조할 수 있습니다.

접하는 순간에는 근축과 원이 만드는 두 교점이 한 점으로 겹치기 때문입니다. 공식에서 h=√(r1²−a²)이 정확히 0이 되는 경계라, 두 점 교차와 접함 사이의 문턱값입니다.

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