복소수 거듭제곱·n제곱근 계산기 (드무아브르 정리)

z = r(cosθ+i·sinθ)일 때 zⁿ = rⁿ(cos nθ+i·sin nθ)이라는 정리입니다. 복소수 곱셈이 "절댓값은 곱하고 편각은 더하는" 연산이기 때문에, 같은 수를 n번 곱하면 절댓값은 n번 곱해져 rⁿ이 되고 편각은 n번 더해져 nθ가 됩니다. 이 정리 덕분에 직교좌표로 여러 번 곱하지 않고도 거듭제곱을 한 번에 구할 수 있습니다.

편각은 2π(360°)를 더해도 같은 복소수를 가리키기 때문입니다. θ, θ+2π, θ+4π, …를 각각 n으로 나누면 서로 다른 n개의 각도가 나오고, k=n이 되면 각도가 정확히 한 바퀴 돌아 k=0과 같은 값으로 되돌아옵니다. 그래서 n제곱근은 항상 정확히 n개이며, 예를 들어 1의 네제곱근은 1, i, −1, −i 네 개입니다.

n개의 근은 절댓값(원점에서의 거리)이 모두 r^(1/n)로 같고, 편각만 360°/n씩 균등하게 벌어져 있습니다. 절댓값이 같은 점들은 원 위에 있고 편각이 고르게 벌어져 있으니, 이 n개의 점을 이으면 원에 내접하는 정n각형이 됩니다.

네. 지수 0은 항상 1이고(0의 0제곱은 제외), 음수 지수는 절댓값의 역수 거듭제곱에 편각의 부호를 반대로 취한 것과 같습니다. z⁻ⁿ = (1/r)ⁿ(cos(−nθ)+i·sin(−nθ))로 자연스럽게 이어집니다. 다만 0은 역수가 없어 음의 거듭제곱을 구할 수 없습니다.

edu/complex-number는 두 복소수의 사칙연산과 절댓값·편각·켤레·극형식 변환까지만 다룹니다. 거듭제곱과 n제곱근은 그 극형식을 발판 삼아 한 단계 더 나아간 계산이라 이 도구에서 따로 다룹니다.