행렬 조건수(오차 증폭) 계산기

입력의 상대오차가 해에서 최대 몇 배까지 커질 수 있는지를 나타내는 수입니다. Ax = b에서 b를 상대적으로 ε만큼 흔들면 해는 최대 κ·ε만큼 움직이며, 이 κ = ‖A‖·‖A⁻¹‖가 조건수입니다. 값은 항상 1 이상이고, 1에 가까울수록 좋은 행렬입니다.

유효자릿수를 log₁₀κ 자리쯤 잃습니다. 조건수가 10⁶이면 여섯 자리가 날아가고, 배정밀도가 약 16자리를 들고 시작하므로 열 자리쯤 남습니다. 조건수가 10¹⁶을 넘으면 남는 자릿수가 없어 계산 결과가 통째로 의미를 잃습니다. 알고리즘을 아무리 잘 짜도 이 손실은 피할 수 없습니다 — 문제 자체의 성질이기 때문입니다.

아닙니다. 가장 흔한 오해입니다. 행렬 전체에 상수 c를 곱하면 행렬식은 cⁿ배가 되지만, ‖A‖는 c배가 되고 ‖A⁻¹‖는 1/c배가 되어 조건수는 전혀 바뀌지 않습니다. 0.0001×단위행렬은 행렬식이 10⁻⁸이지만 조건수는 1로 완벽합니다. 반대로 행렬식이 1이어도 조건수가 10¹⁰인 행렬을 만들 수 있습니다.

자릿수 감각을 볼 때는 셋 중 아무거나 봐도 됩니다. 대개 같은 자릿수로 나오기 때문입니다. 다만 「이 상한에 실제로 닿는다」고 말할 수 있는 것은 2-노름입니다. 2-노름 조건수는 가장 큰 특이값과 가장 작은 특이값의 비이고, 특이벡터 방향으로 흔들면 그 값이 정확히 나옵니다. 1-노름과 ∞-노름은 계산이 쉬워 실무에서 어림잡을 때 씁니다.

가장 작은 특이값에 대응하는 방향입니다. 그 방향으로 우변을 흔들면 A⁻¹이 가장 크게 늘여 증폭이 최대가 됩니다. 이 계산기에서 「고르게」와 「최악 방향」을 오가며 같은 크기로 흔들어 보면, 같은 1%를 흔들어도 결과가 크게 달라지는 것을 볼 수 있습니다. 「고르게」에서 증폭이 작게 나오는 것은 운이 좋았을 뿐이며, 실제 입력 오차가 어느 방향으로 올지는 알 수 없습니다.

문제를 다시 세우는 것이 먼저입니다. 단위를 맞춰 열의 크기를 비슷하게 만들거나(스케일링), 정규화 항을 더하거나, 특이값이 작은 성분을 잘라 내는 방법(절단 SVD·티호노프 정규화)을 씁니다. 정밀도를 올리는 것은 잃는 자릿수를 미루는 것일 뿐 문제의 성질을 바꾸지는 못합니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산이 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.