n×n 역행렬 계산기 (가우스-조던)

행 연산은 어떤 행렬 E를 왼쪽에 곱하는 것과 같기 때문입니다. 여러 번 거쳐 왼쪽이 단위행렬이 되었다면 E·A = I이므로 E가 곧 A⁻¹이고, 같은 연산을 받아 온 오른쪽에는 E·I = A⁻¹이 남아 있습니다. 그래서 [A | I]를 [I | A⁻¹]로 만드는 것만으로 역행렬이 구해집니다.

행렬식이 0일 때입니다. 계산 도중 어느 열에서 피벗으로 쓸 0이 아닌 값을 아래쪽 어디에서도 찾지 못하면 그 열이 통째로 0이 된 것이고, 어떤 행이 다른 행들의 조합이라는 뜻입니다. 이런 행렬을 특이행렬이라 하며, 이 도구는 몇 번째 열에서 막혔는지 알려 줍니다.

역행렬을 구하려면 나눗셈이 반드시 들어가는데, 소수로 하면 오차가 쌓이기 때문입니다. 1/3을 0.3333…으로 다루기 시작하면 0이어야 할 값이 1e-17쯤으로 남아 특이행렬을 못 알아봅니다. 분자와 분모를 정수로 들고 다니면 그런 일이 없어, 0.1과 0.2로 만든 특이행렬도 정확히 잡습니다.

원래 행렬과 구한 역행렬을 곱해 단위행렬이 되는지 확인합니다. 분수로 계산하므로 «거의 0» 같은 애매한 값이 나오지 않고 한 칸도 다르지 않아야 통과입니다. 화면의 «검산» 줄이 그 결과입니다.

결과는 같지만 계산량이 크게 다릅니다. 여인수(수반행렬) 방법은 n² 개의 소행렬식을 모두 구해야 해서 n! 에 비례하지만, 가우스-조던은 n³에 비례합니다. 3×3까지는 여인수 방법도 손으로 할 만하지만 4×4부터는 이 방법이 훨씬 빠릅니다.

전송되지 않습니다. 계산은 전부 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 브라우저의 localStorage에만 남습니다.