가우스 소거법 단계 계산기

계수행렬 A의 rank와 증강행렬 [A|b]의 rank를 견줍니다. 두 rank가 다르면 해가 없고, 같으면서 미지수 개수와 같으면 해가 하나뿐이며, 같지만 미지수보다 작으면 해가 무수히 많습니다. 마지막 경우 자유변수의 개수는 「미지수 − rank」입니다.

행렬식이 0일 때 답을 낼 수 있느냐가 다릅니다. 크래머 공식은 행렬식이 0이면 「해가 없거나 무수히 많다」까지만 말할 수 있지만, 가우스 소거법은 어느 쪽인지와 자유변수가 무엇인지까지 알려 줍니다. 식의 개수와 미지수의 개수가 달라도 그대로 돌아간다는 점도 다릅니다.

피벗이 0이면 그 열로 나눌 수 없고, 0에 가까우면 나눌 때 오차가 크게 불어나기 때문입니다. 그래서 아래 행 가운데 그 열의 절댓값이 가장 큰 행을 골라 바꿔 옵니다. 이 계산기는 분수로 계산해 오차 자체가 없지만, 교재의 절차를 그대로 보이기 위해 같은 규칙을 씁니다.

「이 값이 0인가」를 정확히 판정해야 하기 때문입니다. 1/3은 2진법에서 순환소수라 실수로 담으면 어긋나고, 소거 과정에서 0이 되어야 할 값이 0.0000000000000002처럼 남습니다. 그 값을 0이 아니라고 보면 rank를 잘못 세어 해의 개수를 틀리게 답합니다. 그래서 분자와 분모를 정수로 들고 다니며 계산합니다.

피벗이 없는 열의 변수를 자유변수로 두고, 나머지 변수를 그 자유변수의 식으로 나타냅니다. 예를 들어 x + 2y = 4에서 y가 자유변수라면 x = 4 − 2y이며, y에 아무 값이나 넣을 때마다 해가 하나씩 나옵니다. 어느 변수를 자유변수로 둘지는 유일하지 않아 교재와 모양이 다를 수 있으며, 나타내는 해집합은 같습니다.

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