원뿔곡선 판정기

판별식 B² − 4AC 의 부호 하나로 갈립니다. 음수면 타원(A = C 이고 B = 0 이면 원), 0이면 포물선, 양수면 쌍곡선입니다. 예를 들어 9x² + 25y² − 225 = 0 은 판별식이 −900 이라 타원이고, 9x² − 16y² − 144 = 0 은 576 이라 쌍곡선입니다.

퇴화(degenerate)한 경우입니다. 판별식은 종류만 정할 뿐이고, 실제로 곡선이 그려지는지는 3×3 행렬식이 정합니다. 이 값이 0이면 곡선이 아니라 한 점·두 직선이 되거나 실수 해가 아예 없습니다. x² + y² = 0 은 판별식이 −4 로 타원 계열이지만 원점 한 점뿐이고, x² + y² + 1 = 0 은 실수 해가 없습니다.

xy 항은 도형의 축이 좌표축과 나란하지 않다는 뜻이라, 축을 tan2θ = B/(A − C) 만큼 돌린 뒤에야 표준형이 나옵니다. 이 계산기는 xy 항이 있으면 종류 판정과 회전각까지만 알려 주고, 표준형·초점은 xy 항이 없는 경우에만 계산합니다. 대표적으로 xy = 1 은 45° 기울어진 쌍곡선입니다.

도형이 원에서 얼마나 벗어났는지를 나타내는 값으로, 중심에서 초점까지 거리 c 를 반장축 a 로 나눈 값입니다. 원은 0, 타원은 0과 1 사이, 포물선은 정확히 1, 쌍곡선은 1보다 큽니다. 이심률만 알아도 종류를 알 수 있습니다.

이차함수 꼭짓점 계산기는 y = ax² + bx + c 처럼 y 가 x 의 함수인 포물선만 다룹니다. 이 계산기는 x²·y²·xy 가 모두 있는 일반 이차식을 다루므로 원·타원·쌍곡선까지 판정할 수 있고, 세로로 누운 포물선처럼 함수가 아닌 곡선도 처리합니다.