쿠폰 수집가 문제 계산기 (전종 수집 기대 횟수)

n × (1 + 1/2 + 1/3 + … + 1/n)번입니다. 주사위 여섯 면을 모두 보려면 평균 14.7번, 50종류면 약 225번입니다. k종류를 이미 모았을 때 새것이 나올 확률이 (n−k)/n이므로 다음 하나를 얻는 데 평균 n/(n−k)번이 걸리고, 이것을 모두 더한 값입니다.

마지막 한 종류를 기다리는 데만 평균 n번이 들기 때문입니다. 남은 것이 하나뿐이면 그것이 나올 확률이 1/n이라 평균 n번을 뽑아야 합니다. 절반을 모으는 데 드는 횟수보다 나머지 절반에 드는 횟수가 훨씬 큽니다. 「거의 다 모았는데 하나가 안 나온다」는 체감은 착각이 아닙니다.

아닙니다. 평균 횟수만큼 뽑았을 때 다 모았을 확률은 종류가 많을수록 약 57%에 가까워집니다(6종류에서 64%, 10종류에서 59%, 30종류에서 58%). 분포가 오른쪽으로 길게 늘어져 있어 중앙값이 평균보다 작고, 표준편차가 종류 수 n의 1.3배 정도로 커서 흔들림이 큽니다. 90%나 99% 확률로 모으려면 평균보다 훨씬 많이 뽑아야 하며, 이 계산기가 그 횟수를 함께 냅니다.

등급별 확률이 다르면 그대로 쓸 수 없습니다. 이 계산은 모든 종류가 같은 확률로 나온다는 전제 위에 있습니다. 확률이 다르면 닫힌 식이 없어 모의실험으로 재야 하고, 일정 횟수 뒤 확정을 주는 「천장」이 있으면 또 달라집니다. 한 종류만 노리는 경우라면 기하분포 계산기가 맞습니다.

포함배제로 Σ (−1)^j C(n,j)(1 − j/n)^t입니다. 다만 부호가 번갈아 붙는 큰 항들을 더하고 빼는 꼴이라 종류가 많으면 실수 연산에서 자릿수가 잘려 값이 망가집니다. 이 계산기는 30종류까지만 이 식을 쓰고, 그 위로는 굼벨 근사 exp(−n·e^(−t/n))를 쓰며 어느 쪽을 썼는지 표시합니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.