기하분포·음이항분포 계산기

63.4%만 나옵니다. 100번 모두 실패할 확률이 0.99¹⁰⁰ = 36.6%라 셋 중 한 명 넘게 빈손입니다. 90%를 확신하려면 230번, 99%면 459번을 돌려야 합니다. 기댓값이 100번이라는 말은 100번 하면 나온다는 뜻이 아니라 평균이 100이라는 뜻입니다.

무엇을 세느냐에 따라 둘 다 맞습니다. 성공한 그 시행까지 포함해 세면 1/p, 성공 전까지 헛친 실패 횟수만 세면 (1−p)/p라 정확히 1만큼 다릅니다. p = 0.1이면 각각 10번과 9번입니다. 교재마다 정의가 갈리므로 다른 자료와 견줄 때는 어느 쪽을 세는지 먼저 맞춰야 합니다. 분산은 두 정의에서 (1−p)/p²로 같습니다.

성공을 몇 번 볼지가 다를 뿐 같은 계열입니다. r번째 성공까지 걸리는 시행 횟수가 음이항분포이고, r = 1인 특수한 경우가 기하분포입니다. P(X=k) = C(k−1, r−1)·pʳ·(1−p)ᵏ⁻ʳ이며 기댓값은 r/p, 분산은 r(1−p)/p²입니다.

분포가 오른쪽으로 길게 늘어져 있기 때문입니다. 1% 뽑기의 평균은 100번이지만 중앙값은 69번이라, 절반은 69번 안에 끝나고 나머지 절반이 아주 오래 끄는 쪽으로 평균을 끌어올립니다. 그래서 "평균 100번"을 기준으로 계획하면 절반 넘는 사람의 체감과 어긋납니다.

아닙니다. 기하분포는 지금까지 몇 번 실패했는지를 기억하지 않습니다(무기억성). 99번 연속 실패해도 100번째의 확률은 여전히 p이고, 앞으로 더 필요한 횟수의 기댓값도 처음과 똑같은 1/p번입니다. 이산분포 중에서 이 성질을 갖는 것은 기하분포뿐입니다.

확률이 매 시행 같고 서로 영향을 주지 않을 때만 맞습니다. 확정 천장이나 회차마다 확률이 오르는 장치가 붙어 있으면 전제가 깨져 실제보다 나쁘게 나옵니다. 상자에서 꺼내고 되돌리지 않는 경우처럼 뽑을수록 확률이 변하는 상황에는 초기하분포를 써야 합니다.

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