감마함수·베타함수 계산기
계승을 실수로 늘린 감마함수 Γ(x)와 lnΓ(x), 베타함수 B(x,y)를 구합니다. Γ(n) = (n−1)!, Γ(1/2) = √π, 점화식과 반사공식을 결과에서 함께 검산해 보여 줍니다.
0과 음의 정수는 극이라 계산할 수 없습니다.
Γ(2.5)
1.3293403882
계승으로 읽으면 (x−1)!입니다. x! 은 Γ(x+1) = 3.3233509704입니다.
계산 방법
- 1x를 넣으면 Γ(x)와 lnΓ(x)가 나옵니다. 0과 음의 정수는 극이라 계산할 수 없습니다.
- 2「x!로 읽으면」 줄에서 Γ(x+1)이 곧 x!라는 것을 확인합니다.
- 3검산 줄에서 점화식과 반사공식이 통과하는지 봅니다.
- 4베타함수 칸에 두 값을 넣으면 B(x,y)와, 정수일 때는 이항계수까지 함께 나옵니다.
자주 묻는 질문
계승을 실수(와 복소수)로 늘린 함수입니다. Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x−1)e^(−t)dt로 정의되고, 자연수에서 Γ(n) = (n−1)!이 됩니다. 「2.5!은 얼마인가」 같은 물음에 답할 수 있게 해 줍니다.
감마함수가 계승보다 한 칸 밀려 있기 때문입니다. Γ(n) = (n−1)!이므로 Γ(5) = 4! = 24이고, 5! = 120은 Γ(6)입니다. x!을 구하려면 Γ(x+1)을 보셔야 합니다. 이 계산기는 두 값을 나란히 보여 줍니다.
적분 정의에서 치환하면 가우스 적분 ∫e^(−u²)du = √π가 나오기 때문입니다. 이 값 덕분에 반정수에서의 감마값이 모두 √π의 유리수 배가 되고, 정규분포와 카이제곱분포의 상수도 여기서 나옵니다.
Γ(172)부터는 double이 담을 수 있는 범위를 넘어 Infinity가 되기 때문입니다. 마지막으로 담기는 값은 Γ(171) = 170! ≈ 7.26×10³⁰⁶입니다. 그런데 lnΓ(172)는 712밖에 안 되므로, 조합·확률 계산처럼 결국 비율이나 로그로 끝나는 문제는 lnΓ로 계산해야 넘치지 않습니다.
그 점들이 감마함수의 극(pole)이기 때문입니다. 점화식 Γ(x+1) = xΓ(x)를 뒤집으면 Γ(x) = Γ(x+1)/x가 되는데, x가 0이면 0으로 나누게 됩니다. 극 근처에서 값이 급격히 커지는 것은 계산해 볼 수 있습니다.
확률에서 베타분포의 정규화 상수이고, 이항계수와도 이어집니다. C(n,k) = 1/((n+1)·B(k+1, n−k+1))이라 큰 수의 이항계수를 넘침 없이 계산하는 데 쓰입니다. 정의는 B(x,y) = Γ(x)Γ(y)/Γ(x+y)입니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이뤄지고, 입력값은 이 기기에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 계산은 란초스(Lanczos) 근사(g = 7, 계수 9개)로 하고, x < 0.5에서는 반사공식으로 오른쪽으로 옮겨 계산합니다. 배정밀도에서 15자리 정도가 맞습니다.
- 검증은 알려진 등식으로 했습니다. Γ(n) = (n−1)!(n = 1…20), Γ(1/2) = √π, Γ(3/2) = √π/2, Γ(−1/2) = −2√π, Γ(1/3)Γ(2/3) = 2π/√3, 점화식 Γ(x+1) = xΓ(x), 반사공식, 배가공식 Γ(x)Γ(x+½) = 2^(1−2x)√π·Γ(2x)를 모두 테스트로 고정했습니다.
- 적분 정의와도 대조했습니다. Γ(x) = ∫₀^∞ t^(x−1)e^(−t)dt를 심프슨 공식으로 20만 구간 적분해 상대오차 10⁻⁶ 안에서 맞는 것을 확인했습니다.
- 베타함수는 Γ를 직접 곱하지 않고 lnΓ로 계산해 되돌립니다. 큰 값에서 곱이 먼저 넘치는 것을 피하기 위해서입니다. B(1/2,1/2) = π와 정수에서의 (m−1)!(n−1)!/(m+n−1)!도 확인했습니다.
- 화면에는 점화식과 반사공식 검산 결과를 함께 보입니다. 근사식이 틀어지면 이 검산이 먼저 어긋납니다.
- 실수 x만 다룹니다. 복소수 감마함수와 불완전 감마함수는 다루지 않습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 2일 · 결과는 참고용 추정치입니다.