수치적분 계산기

조각을 직선으로 보느냐 포물선으로 보느냐가 다릅니다. 사다리꼴은 이웃한 두 점을 직선으로 이어 사다리꼴 넓이를 더하고, 심프슨은 세 점에 포물선을 얹어 그 아래 넓이를 더합니다. 그래서 오차가 사다리꼴은 h², 심프슨은 h⁴에 비례하고, 구간을 2배로 나누면 오차가 각각 1/4과 1/16이 됩니다.

값이 더 이상 안 변할 때까지입니다. 구간을 2배로 늘렸을 때 결과가 원하는 자릿수 안에서 그대로면 충분합니다. 이 도구가 그 표를 만들어 주며, 매끄러운 함수라면 심프슨 100구간이나 롬베르그 10단계로 소수점 10자리 안팎까지 맞습니다. 무작정 늘리는 것은 도움이 안 됩니다 — 구간이 너무 많으면 반올림 오차가 쌓여 오히려 나빠집니다.

조각 두 개마다 포물선 하나를 얹기 때문입니다. 포물선 하나를 정하려면 점이 세 개, 즉 구간이 두 개 필요해서 전체 구간 수가 홀수면 마지막 하나가 남습니다. 이 도구는 홀수를 넣으면 하나 올려 짝수로 맞춥니다.

사다리꼴 값을 여러 개 구해 놓고 오차 항을 대수적으로 지워 나가는 방법입니다. 구간 1, 2, 4, 8…개의 사다리꼴을 계산한 뒤 이웃한 두 값을 리처드슨 외삽으로 조합하면 h² 항이 사라집니다. 표의 2열이 심프슨과 정확히 같고, 3열부터는 그보다 높은 차수가 됩니다. 사다리꼴 값을 다시 쓰기 때문에 함수 호출은 구간 수 + 1번뿐입니다.

이론 차수는 보장되는 하한이라 실제로는 더 좋게도, 더 나쁘게도 나옵니다. ∫₀¹ 4/(1+x²)를 심프슨으로 하면 6차가 나오는데, 오차의 h⁴ 항이 f‴(b)−f‴(a)에 비례하는데 이 함수는 양 끝에서 f‴이 모두 0이라 그 항이 사라지기 때문입니다. 반대로 도함수가 튀거나 끝점에서 발산하는 함수는 이론 차수에 못 미칩니다.

끝점을 쓰지 않는 중점 공식을 쓰거나 구간을 옮겨 피하는 것이 낫습니다. 사다리꼴과 심프슨은 양 끝점의 함숫값을 쓰기 때문에 x=0에서 1/√x를 부르면 무한대가 나옵니다. 이 도구는 그런 표본이 나오면 경고를 띄웁니다. 다만 중점 공식으로 피하더라도 함수가 매끄럽지 않아 수렴은 느립니다.