고유값 계산기
2×2와 3×3 행렬의 고유값과 고유벡터를 구합니다. 회전행렬처럼 복소수 고유값이 나오는 경우를 제대로 다루고, 대각합과 행렬식으로 검산까지 보여 줍니다.
고유값
5, 2
모두 실수입니다
평면을 이만큼 돌리는 행렬입니다.
계산 방법
- 12×2인지 3×3인지 고릅니다.
- 2행렬 성분을 넣으면 고유값과 고유벡터가 나옵니다.
- 3대각합과 고유값의 합, 행렬식과 고유값의 곱을 견줘 검산합니다.
- 4아래 회전행렬로 복소수 고유값이 무엇을 뜻하는지 봅니다.
자주 묻는 질문
Av = λv를 만족하는 λ입니다. 행렬을 곱해도 방향이 바뀌지 않는 축이 고유벡터이고, 그 축에서 얼마나 늘어나는지가 고유값입니다. 특성방정식 det(A − λI) = 0을 풀어 구합니다.
평면을 돌리는 변환은 어떤 방향도 그대로 두지 않기 때문입니다. 실수 고유벡터가 없으므로 고유값이 cos θ ± i·sin θ로 나오는데, 크기가 1이고 편각이 회전각이라 회전이라는 사실이 고유값에 그대로 남습니다. 0°와 180°일 때만 실수가 됩니다.
고유값이 반드시 실수이고 고유벡터가 서로 직교하기 때문입니다. 관성모멘트 텐서·응력 텐서·공분산 행렬이 다 대칭이라, 주축을 찾는 문제가 곧 고유값 문제가 됩니다.
고유값의 합이 대각합, 곱이 행렬식과 같은지 보면 됩니다. 복소수여도 성립합니다. 둘 다 봐야 하는데, 근이 평균에 대칭인 행렬에서는 부호가 뒤집혀도 합만은 맞아떨어지기 때문입니다.
3차 특성방정식을 풉니다. 카르다노 공식은 실근이 셋일 때도 중간 계산에 복소수가 나오므로(환원 불능의 경우), 이 계산기는 실근이 셋일 때 삼각함수 해법을 써서 복소수를 거치지 않습니다.
고유벡터는 상수배가 모두 고유벡터라 방향만 의미가 있습니다. 보기 좋게 길이를 1로 맞추고 첫 0이 아닌 성분이 양수가 되도록 정했습니다.
알아두면 좋은 점
- 실수 성분의 2×2와 3×3만 다룹니다.
- 고유벡터는 길이를 1로 맞추고 첫 0이 아닌 성분이 양수가 되도록 부호를 정했습니다.
- 중근이 있을 때 고유벡터가 하나뿐인 경우(결손 행렬)는 구분하지 않습니다.
- 복소수 고유값에는 실수 고유벡터가 없으므로 벡터를 내지 않습니다.
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마지막 검증: 2026년 8월 31일 · 결과는 참고용 추정치입니다.