그럽스 이상치 검정 계산기

평균에서 가장 멀리 떨어진 값이 표준편차의 몇 배만큼 떨어져 있는지를 재고, 그 정도가 우연으로 나올 만한지 판정합니다. 통계량은 G = |의심값 − 평균| / 표본표준편차이고, 이 값이 임계값을 넘으면 이상치로 봅니다. 여기서 표준편차는 n−1로 나눈 표본표준편차이며, 의심스러운 값도 빼지 않고 평균과 표준편차 계산에 그대로 포함시키는 것이 그럽스 검정의 정의입니다.

구할 필요가 없습니다. 임계값은 t분포에서 닫힌식으로 바로 나옵니다. G_crit = (n−1)/√n × √(t²/(n−2+t²))이고, 여기서 t는 자유도 n−2에 상측확률 α/(2n)인 t값입니다. 예를 들어 n=10, α=0.05 양측이면 t(0.9975, 자유도 8) = 3.8325라서 임계값이 2.290이 되는데, 이는 여러 자료가 싣는 표의 값과 같습니다. 이 계산기는 매번 이 식으로 계산하므로 표에 없는 n이나 α도 그대로 다룹니다.

본페로니 보정입니다. n개 값 중에서 가장 먼 것 하나를 골라 보는 것이라, 사실상 n번 검정한 셈이 되기 때문입니다. 보정하지 않으면 정상적인 자료에서도 이상치가 자주 나옵니다. 양측이면 상측확률을 α/(2n), 단측이면 α/n으로 잡습니다.

G에 넘을 수 없는 천장이 있기 때문입니다. G는 (n−1)/√n을 넘을 수 없어서 n=3이면 1.1547, n=5면 1.7889가 최대입니다. 값을 아무리 멀리 떨어뜨려도 G가 이 천장에 붙을 뿐이라, n이 작으면 임계값이 천장에 거의 닿아 판정이 사실상 불가능해집니다. 그럽스 검정에 표본을 6~7개 이상으로 권하는 이유가 이것입니다.

서로를 가려서 둘 다 놓칠 수 있습니다. 마스킹이라고 부르는 현상인데, 두 값이 나란히 크면 그 둘이 표준편차를 함께 부풀려 G가 오히려 작아지기 때문입니다. 그럽스 검정은 이상치가 최대 하나라는 전제 위에 있습니다. 잡은 값을 빼고 다시 돌리는 순차 적용도 흔히 하지만 실제 유의수준이 명목값보다 커지므로, 둘 이상을 다루려면 Tietjen–Moore나 일반화 ESD를 쓰는 편이 맞는 것으로 추정됩니다.

전제가 달라서 갈리는 것이지 어느 한쪽이 틀린 것은 아닙니다. 그럽스 검정은 자료가 정규분포를 따른다고 보고 평균과 표준편차를 쓰는 반면, IQR 규칙은 분포를 가정하지 않고 사분위수만 씁니다. 원래 오른쪽으로 치우친 분포에서는 그럽스 검정이 꼬리의 정상적인 값을 이상치로 몰아내기 쉽습니다. 자료가 정규에 가까운지 먼저 확인하고 고르시는 편이 좋습니다.

판정만으로는 지울 근거가 되지 않습니다. 통계량이 말해 주는 것은 그 값이 나머지와 어울리지 않는다는 것뿐이고, 측정 오류인지 입력 실수인지 실제로 드문 사건인지는 자료를 만든 과정을 봐야 알 수 있습니다. 이상치를 지우면 분산이 실제보다 작게 보여 이후 분석이 과신하게 되므로, 지우기보다 따로 표시해 두고 원인을 확인하는 편이 안전한 것으로 추정됩니다.

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