미분방정식 수치해(오일러·RK4) 계산기

기울기를 몇 번 보느냐가 다릅니다. 오일러는 지금 자리의 기울기 하나로 직선처럼 밀고 나가고, 개선오일러는 끝의 기울기까지 평균 내며, RK4는 가운데를 두 번 더 봐서 네 기울기를 가중평균합니다. 한 걸음에 f를 각각 1·2·4번 부릅니다.

h를 반으로 줄일 때 오차가 얼마나 주는지를 말합니다. 1차인 오일러는 오차가 1/2, 2차인 개선오일러는 1/4, 4차인 RK4는 1/16로 줄어듭니다. 이 계산기는 h를 반씩 줄인 오차 표를 함께 내는데, 그 «비» 칸이 0.5·0.25·0.0625에 가까워지는 것이 바로 차수입니다.

같은 정확도를 훨씬 적은 걸음으로 내기 때문입니다. dy/dx = y를 x=1까지 풀면 오일러가 160걸음으로 낸 정확도를 RK4는 10걸음으로 이미 넘어섭니다. 한 걸음의 비용이 4배여도 걸음 수가 비교가 안 되게 줄어 전체로는 훨씬 쌉니다.

아닙니다. 자름오차는 h와 함께 줄지만 반올림오차는 걸음 수에 따라 늘어납니다. 배정도 실수는 유효숫자가 16자리뿐이라 걸음이 아주 많아지면 매 걸음의 반올림이 쌓여 자름오차를 앞지릅니다. 그래서 어느 지점부터는 h를 줄여도 오차가 다시 커지며, 자름오차가 워낙 작은 RK4는 그 지점이 일찍 옵니다.

h가 너무 클 가능성이 큽니다. 아주 빠르게 사그라드는 성분이 섞인 방정식(강성)에서는 h가 조금만 커도 수치해가 진동하며 커집니다. 오일러의 안정 조건은 |1 + hλ| < 1이라 y′ = −1000y면 h < 0.002여야 하고, RK4는 hλ > −2.785까지 버팁니다. 걸음 수를 늘려 보세요.

음함수법(후진오일러, BDF 등)이 필요하며 이 계산기의 범위 밖입니다. 안정 조건을 맞추려고 h를 아주 작게 잡으면 걸음 수가 감당이 안 되기 때문입니다. 해는 매끈하게 사그라드는데 수치해만 진동하는 것이므로, 계산이 터졌다고 방정식을 의심하면 안 됩니다.

«xy»가 x 곱하기 y가 아니라 «xy라는 이름» 하나로 읽히기 때문입니다. 여러 글자를 한 이름으로 집어야 sin이나 atan2 같은 함수 이름을 쓸 수 있어서입니다. 곱은 «x*y»라고 명시하세요. 다만 숫자 뒤의 곱은 생략할 수 있어 «2x»는 2*x로 읽습니다.

이 계산기로는 안 됩니다. 1계 단일 방정식만 풉니다. 2계는 y′ = v, v′ = f(x, y, v)처럼 1계 연립으로 바꿔야 하는데 입력이 복잡해져 다루지 않습니다.

넣지 않아도 풉니다. 다만 해석해를 넣으면 오차와 수렴 차수 표를 함께 볼 수 있어, 지금 h가 충분히 작은지 판단하는 데 도움이 됩니다. 해석해를 모르는 경우에는 걸음 수를 두 배로 늘려 값이 거의 안 변하는지 보는 것이 실무적인 방법입니다.

전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서 이루어지며 입력값은 이 기기에만 남습니다.