훅 길이 공식(표준 영 타블로) 계산기
분할을 넣으면 영 도형의 칸별 훅 길이를 격자로 그리고 f^λ = n! ÷ ∏h로 표준 영 타블로의 개수를 셉니다. 작은 도형에서는 실제로 하나하나 세어 본 값과 나란히 놓아 이 단순한 나눗셈이 정말 맞는지 확인할 수 있습니다.
큰 수부터 차례로 적습니다. 칸 60개까지
표준 영 타블로의 개수 f^λ
5
칸 5개짜리 도형입니다. 5! 을 훅 길이의 곱 24으로 나눈 값이며, 배정도로도 정확히 담기는 크기입니다.
칸별 훅 길이
한 칸의 훅은 «자기 자신 + 오른쪽 칸들 + 아래 칸들»입니다. 대각선 아래나 왼쪽은 세지 않습니다.
RSK 대응 — 칸 5개인 모든 분할에 대해
순열 하나가 «같은 모양의 표준 영 타블로 두 장»에 하나씩 대응한다는 것이 로빈슨–셴스테드–크누스 대응입니다. 그래서 모든 모양에 대해 제곱을 더하면 순열의 개수 n!이 됩니다.
계산 방법
- 1분할을 큰 수부터 적습니다. "3 2"는 3칸 행 아래 2칸 행이 있는 도형입니다.
- 2칸별 훅 길이가 격자로 그려집니다 — 자기 자신 + 오른쪽 칸 + 아래 칸입니다.
- 3n!을 훅 길이의 곱으로 나눈 값이 표준 영 타블로의 개수입니다.
- 4칸이 10개 이하면 실제로 하나하나 세어 본 값이 함께 나와 검산이 됩니다.
- 5전치한 도형, 카탈란 수와의 관계, Σ(f^λ)² = n! 항등식도 함께 확인할 수 있습니다.
자주 묻는 질문
영 도형의 칸에 1부터 n까지를 «각 행에서 오른쪽으로 갈수록 크고, 각 열에서 아래로 갈수록 크도록» 채운 것입니다. 분할 (3,2)라면 3칸 행 아래 2칸 행이 붙은 다섯 칸 도형이고, 그렇게 채우는 방법이 정확히 5가지입니다. 대칭군의 기약표현 차원이기도 해서 표현론에서 자주 나옵니다.
한 칸의 훅은 «자기 자신 + 그 오른쪽 칸들 + 그 아래 칸들»입니다. 대각선 아래나 왼쪽은 세지 않습니다. 분할 (3,2)의 왼쪽 위 칸은 오른쪽 두 칸과 아래 한 칸, 자기 자신을 합해 4입니다. 갈고리 모양이라 훅이라고 부릅니다.
그것이 정리의 내용이며 놀라운 점입니다. 프레임–로빈슨–스랄이 1954년에 증명했고, 나중에 그린–니젠하위스–윌프가 «무작위로 훅을 따라 걷는다»는 확률적 증명을 붙였습니다. 식만 보면 정수가 나올 이유가 전혀 없어 보이는데 언제나 떨어집니다 — 이 계산기가 작은 도형에서 하나하나 세어 본 값을 나란히 보여 주는 이유입니다.
λ = (n, n)인 두 줄짜리 직사각 도형의 표준 영 타블로 개수가 정확히 카탈란 수 Cₙ이기 때문입니다. 윗줄이 아랫줄보다 항상 앞선다는 조건이 «괄호가 짝이 맞는가»와 같은 조건이 됩니다. 이 계산기에 3 3을 넣으면 5, 4 4를 넣으면 14가 나옵니다.
정확합니다. BigInt로 계산하기 때문입니다. 배정도 실수로는 20!을 넘는 순간 n! 자체를 담을 수 없고, 예를 들어 10×5 직사각형의 답은 2.3×10²³이라 실수로는 뒤쪽 자릿수가 어긋납니다. 이 계산기는 정확한 값을 보여 주고, 배정도로 담기지 않는 크기라면 그 사실도 함께 알려 드립니다.
전송되지 않습니다. 모든 계산은 브라우저 안에서만 이뤄지고, 입력값은 이 기기의 저장소에만 남습니다.
알아두면 좋은 점
- 칸 60개까지 다룹니다. 하나하나 세어 보는 검산은 10칸까지만 합니다 — 그 위로는 경우의 수가 너무 빨리 늘어납니다.
- 표준 영 타블로만 셉니다. 같은 수를 여러 번 써도 되는 반표준 영 타블로(SSYT)는 다른 공식(훅 내용 공식)을 씁니다.
- 기울어진 도형(skew shape)은 다루지 않습니다. 훅 길이 공식이 그대로 성립하지 않습니다.
- 칸 10개 이하 모든 분할에서 실제로 세어 본 값과 대조했고, Σ(f^λ)² = n!을 n = 12까지 확인했습니다.
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마지막 검증: 2026년 9월 2일 · 결과는 참고용 추정치입니다.