파스칼 삼각형 계산기

위의 두 수를 더해 아래를 만듭니다. 양 끝은 언제나 1이고, n행 k번째는 (n−1)행의 (k−1)번째와 k번째를 더한 값입니다. 이것이 파스칼의 규칙 C(n,k) = C(n−1,k−1) + C(n−1,k)이며, n번째 원소를 고르느냐 마느냐로 경우를 갈라 보면 두 항이 각각 그 두 경우입니다.

n개에서 k개를 고르는 방법의 수, 즉 조합 C(n,k)입니다. 동시에 (a+b)의 n제곱을 전개했을 때 a^(n−k)b^k의 계수이기도 합니다. 괄호 n개에서 b를 k번 고르는 방법이 곧 그 수이기 때문에 두 뜻이 같습니다.

원소 n개의 부분집합이 모두 2의 n제곱개이기 때문입니다. 크기가 0인 것부터 n인 것까지 세어 더한 것이 한 행의 합이므로 같아야 합니다. 이항정리에서 a와 b에 각각 1을 넣어 본 것과도 같습니다. 부호를 번갈아 더하면 0이 되는데, 짝수 크기 부분집합과 홀수 크기 부분집합의 개수가 같다는 뜻입니다.

C(n,k)가 홀수가 되는 조건이 자기 닮음 구조를 갖기 때문입니다. 쿠머의 정리에 따르면 C(n,k)가 홀수인 것은 k를 2진법으로 적었을 때 1인 자리가 모두 n의 1인 자리 안에 들어 있을 때뿐입니다. 2진법 조건이라 크기를 두 배로 키워도 같은 모양이 되풀이되며, 그 결과가 시에르핀스키 삼각형입니다.

한 대각선을 위에서부터 더하면 마지막에 한 칸 꺾어 내려간 자리의 값이 된다는 성질입니다. 식으로는 C(k,k) + C(k+1,k) + … + C(n,k) = C(n+1,k+1)입니다. 예를 들어 1+3+6+10 = 20이고 이는 C(6,3)과 같습니다. 삼각형에서 더한 자리들을 이으면 하키 스틱 모양이라 그렇게 부릅니다.

정확합니다. 값이 금방 커져 C(60,30)이 이미 118,264,581,564,861,424로 배정밀도 실수의 정확한 정수 범위를 넘습니다. 이 계산기는 BigInt로 계산하므로 C(1000,500)처럼 300자리짜리 수도 끝자리까지 맞습니다.

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